¿La equiparación definitoria de "integral indefinida" con "primitiva" convierte el teorema fundamental del cálculo en una tautología?

  • "Integral indefinida" a veces se equipara con "primitiva" ( https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative ).

  • El teorema fundamental del cálculo establece un vínculo entre diferenciación e integración, diciendo, informalmente, que una es el proceso inverso de la otra.

  • Entonces, aproximadamente, la FTC establece que cada integral indefinida de una función f también es una primitiva de f.

  • Pero, si primero defino "integral indefinida de f" como "primitiva de f", la FTC aparece como una tautología: "toda primitiva de f es una primitiva de f".

Mi pregunta: (1) ¿debería uno decir que "integral indefinida" y "primitiva" en realidad denotan la misma función (o el mismo conjunto de funciones) pero, de hecho, difieren conceptualmente (quiero decir, difieren en sus definiciones); y que (2) el interés de FTC radica en que muestra la identidad extensional de estas dos expresiones, a pesar de su diferencia intensional/conceptual?

¿De qué teorema fundamental del cálculo estás hablando? Hay dos de ellos, para mí.
La FTC (debe decir qué forma tiene en mente) implica integrales definidas. ¿ Cuál es tu definición de integral definida? Eso mostrará si su forma de FTC es una tautología. Hay una conexión real entre la diferenciación y la integración (definida), por lo que si elige una formulación de FTC que la convierte en una tautología, simplemente ha trasladado la sutileza a otro lugar.

Respuestas (1)

Escribir

∫ a b F ( t ) d t := F ( b ) − F ( a )   ,
dónde F es una primitiva ("antiderivada") de F , y
∫ [ a , b ] F ( t ) d t := límite … ∑ k = 1 norte F ( ξ k ) | X k − X k − 1 |   ,
donde el RHS es un límite de las sumas de Riemann. La FTC luego dice que
∫ [ a , b ] F ( t ) d t = ∫ a b F ( t ) d t ( a < b )   .

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