Derive el lagrangiano que produce la ecuación de Schrödinger libre de la invariancia de Galileo

Question

Derive el lagrangiano que produce la ecuación de Schrödinger libre de la invariancia de Galileo

látigo cuántico

La densidad lagrangiana

L (Ψ, Ψ^{*}) = i ℏ \dot{Ψ} Ψ^{*} + \frac{ℏ^{2}}{2 metro} Ψ Δ Ψ^{*}

$L(\Psi, \Psi^*)=i \hbar \dot{\Psi} \Psi^* + \frac{\hbar^2}{2m} \Psi \Delta \Psi^*$ producirá las ecuaciones de Schroedinger para

Ψ

$\Psi$ y

Ψ^{*}

$\Psi^*$ . ¿Podemos derivar esta densidad lagrangiana si imponemos solo términos cuadráticos e invariancia galileana como condiciones para la densidad? Por supuesto, la derivación puede ser hasta términos derivados totales, que no cambian la física.

látigo cuántico

@Qmechanic: acabo de descubrir que la ecuación en sí no es invariante bajo las transformaciones galileanas, así que supongo que no hay forma de derivar la densidad lagrangiana a partir de estas suposiciones.

qmecanico

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Sí. La quintaesencia que obtengo es que, a menos que también transforme la función de onda, la ecuación cambiará. (

x^{'} = x - v t

$x' = x - v t$ ) solo no hará el truco.

qmecanico

↑

$\uparrow$ Bien.

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Respuestas (1)

Derive el lagrangiano que produce la ecuación de Schrödinger libre de la invariancia de Galileo

@Qmechanic: acabo de descubrir que la ecuación en sí no es invariante bajo las transformaciones galileanas, así que supongo que no hay forma de derivar la densidad lagrangiana a partir de estas suposiciones.
Sí. La quintaesencia que obtengo es que, a menos que también transforme la función de onda, la ecuación cambiará. ( $x' = x - v t$ ) solo no hará el truco.

Adán · Answer 1

La invariancia galileana solo impone la combinación $i\partial_t-\frac{\triangle}{2m}$ a cualquier poder. Esto significa que la acción

\int_{t, X} \sum_{norte} ψ^{*} {(i \partial_{t} - \frac{△}{2 metro})}^{norte} ψ,

$\int_{t,x} \sum_n \psi^*\left(i\partial_t-\frac{\triangle}{2m}\right)^n\psi,$ es invariante. Necesita restricciones adicionales (como "simplicidad", lo que sea que eso signifique, o comparación con datos experimentales) para obtener la densidad lagrangiana del OP.

Comenta la respuesta (v1): ¿Estás haciendo alguna suposición sobre cómo $\psi$ se comporta bajo transformaciones galileanas?

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