¿Se puede derivar Berry Connection de una métrica?

La respuesta es positiva, salvo que la conexión de Berry es una conexión abeliana, y la métrica correspondiente no es una métrica sobre fibra tangente como en el caso de Riemann, sino una métrica sobre fibra lineal, es decir, una métrica unidimensional.

Este haz de líneas se definió en el trabajo seminal de In Barry Simon , donde demostró que la fase Berry es la holonomía de una (conexión de) el haz de líneas Hermitian dada por:$\{R, |\Psi (R)\rangle \} \in (\mathcal{M}, C^\times )$sujeto a la restricción:

$$H(R) |\Psi(R) \rangle = E(R) |\Psi (R)\rangle$$

Dónde$\mathcal{M}$es el espacio de parámetros del hamiltoniano$H(R)$. El haz de líneas está alineado en cada punto de$\mathcal{M}$a lo largo del vector propio$|\Psi (R)\rangle$de la ecuación de Schroedinger. Este paquete posee una métrica sobre el espacio de secciones que permite calcular productos escalares entre dos secciones$x$y$y$. ($x$y$y$son funciones complejas que no desaparecen localmente en$\mathcal{M}$):

$$(x,y)(R) = \bar{x}(R) e^{-\langle \Psi(R) |\Psi (R)\rangle } y(R)$$ Este producto escalar es invariante en la transición entre parches de la variedad $\mathcal{M}$.

Ahora es fácil demostrar que la conexión de Berry es compatible con esta métrica (al igual que la conexión de Levi-Civita es compatible con la métrica de Riemann):

$$\partial_{\mu} (x,y) = (D_{\mu} x,y) + (x, D_{\mu} y)$$ Dónde: $D_{\mu}$es la derivada covariante correspondiente a la conexión de Berry $$D_{\mu} = \partial_{\mu}+iA_{\mu}$$