¿Cómo puedo inferir la topología de un estado cuántico (o banda) a partir de su número de Chern?

En parte estoy tratando de entender esto yo mismo. La fase Berry se calcula a partir de formas diferenciales, como las formas únicas$\omega$construido a partir de estados

$$\omega~=~\langle\psi|d\psi\rangle$$ y con la diferencial covariante $D~=~d~+~\omega$las dos formas $$\Omega~=~D\omega~=~d\omega~+~\omega\wedge\omega$$ Los componentes tensoriales de la forma 2 $F$son elementos de un paquete principal autoadjunto $P$. El determinante de estos elementos $$det\Big|1~+~\frac{ixF}{2\pi}\Big|~=~\sum_nc_jx^n$$ que es un polinomio característico que representa la clase de Chern. Cada $c_n(P)$es un elemento de $H^{2n}(M)$. Entonces, la forma de curvatura para la fase de Berry, o la métrica del estudio de Fubini $\Omega=~dz\wedge d{\bar z}/(1~+~|z|^2)^2$se evalúa $\int\Omega~=~2\pi i$y da $c_1~=~1$Entonces hay un cociclo no trivial en el "nivel 2". Para esta geometría proyectiva hay números de Betti alternos $1,~0$para pares e impares.

Si tuvieras algún producto de estados$\prod_n |\psi_n\rangle$, digamos en un estado enredado, etc., podría aplicar el diferencial$d$hasta$n$tiempos y forma y$n$-forma. Por ejemplo el producto$|\psi_1,~\psi_2\rangle$ $=~|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$define la forma única

$$\omega~=~d|\psi_1,~\psi_2\rangle~=~d|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle~+~|\psi_1\rangle d|\psi_2\rangle$$ y entonces se podría construir un sistema de formas diferenciales en varias cadenas. El análogo de la geometría proyectiva para esto es un $G_2(V)$Grassmannian y esto continúa para espacios de n-productos.