Fase geométrica adquirida por un fotón en la esfera de Poincaré

La esfera de Poincaré como espacio de parámetros no es exclusiva ni de los fotones ni de los electrones. Puede aparecer en la evolución de varios sistemas físicos; por ejemplo, la dinámica entre dos estados atómicos hiperfinos impulsados ​​por un rayo láser. Consulte el siguiente trabajo de Viennot para obtener una caracterización general de los espacios de parametrización genéricos.

Una propiedad importante de los espacios de parámetros es que son kählerianos, es decir, simplécticos con una estructura compleja compatible. El cálculo de la forma simpléctica se realiza muy fácilmente como un subproducto del cálculo de la fase Berry de la siguiente manera:

Supongamos que tenemos una familia de hamiltonianos$H(R)$parametrizado por un espacio de parámetros$\mathcal{M} \ni R$. Suponer que$\psi(R)$es un vector propio normalizado correspondiente al valor propio$E(R)$de$H(R)$:

$$H(R) \psi(R) = E(R) \psi(R)$$ Supongamos que los parámetros $R$son variados de tal manera que el nivel $E(R)$no cruza ningún otro nivel; entonces la conexión Berry: $$A = \psi(R)^{\dagger} d \psi(R)$$ Dejar $P(R)$ser el proyector en el estado $\psi(R)$: $$P(R) = \psi(R) \psi(R) ^{\dagger}$$ Entonces la estructura simpléctica del espacio de parámetros $\mathcal{M}$es dado por: $$\omega = \mathrm{tr} \left(P(R) dP(R) \wedge dP(R)\right)$$

(No es difícil comprobar que$\omega$está cerrado). Cuando el espacio de parámetros es la esfera de Poincaré,$\mathcal{M} = S^2$, la estructura simpléctica es siempre un múltiplo entero del elemento del área de la esfera de Poincaré, independientemente del hamiltoniano del que partimos.

$$\omega = n \omega_{S^2}$$ (con $\omega_{S^2} = \sin \theta d\theta d\phi$en coordenadas esféricas).

Por lo tanto, sólo el parámetro$n$determina cuántos múltiplos del ángulo sólido son iguales a la fase de Berry.

La forma simpléctica de cualquier espacio de parámetros calculado como arriba es integral, es decir, su flujo a través de cualquier ciclo bidimensional dividido por$4\pi$es un número entero). La razón de esto es solo entonces, la conexión Berry será una conexión en un paquete de líneas. Esto sucede cuando la condición de cuantificación de Dirac ($n\in \mathbb{Z}$Está satisfecho).

El requisito de que la fase Berry sea una holonomía de paquete es muy importante; por ejemplo, es la razón profunda detrás de la clasificación de los aisladores topológicos.

Ahora, para saber cuál es el número entero$n$correspondiente a una situación física, solo se necesita calcular el vector propio:

Por ejemplo, para una vuelta$s$electrón en un campo magnético, el hamiltoniano es$H = \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{B }$Aquí$\mathbf{\sigma}$son$2s+1 \times 2s+1$matrices. Si tomamos el eignevector correspondiente al estado$(m_s, s)$, obtenemos:$n = 2 m_s$Así para el caso del electrón$m_s = \pm \frac{1}{2}$, obtenemos$n= \pm 1$.

En el caso del fotón, la dinámica de polarización tiene lugar en el plano perpendicular a la dirección del movimiento. El hamiltoniano es bidimensional. La forma explícita del hamiltoniano se da, por ejemplo, en: el artículo de Bliokh, Niv, Kleiner y Hasman:

$$H = S_z \mathbf{A(p)}\cdot \dot{\mathbf{p}}$$ ( $S_z$es el tercer componente del vector de Stokes, $\mathbf{A(p)}$es la interacción de la órbita de espín)

Así también en este caso tenemos$m_s = \pm \frac{1}{2}$, obtenemos$n= \pm 1$, aunque los valores propios de$S_z$(las helicidades) son iguales a$\pm 1$.