Intuición detrás del teorema de la dimensión [duplicado]

Puedes pensar en la dimensión de un espacio vectorial como la cantidad de información que contiene. En esta forma de pensar, si$L : V \to W$entonces podemos pensar en$\dim(\ker(L))$como la cantidad de información destruida al pasar de$V$a$W$, y$\dim(\mathrm{range}(L))$como la cantidad de información que no se destruye. En este contexto, si$L$no destruye ninguna información entonces obtendríamos$\dim(\mathrm{range}(L)) = \dim(V)$. Sin embargo, si parte de la información se destruye, entonces podemos pensar que esta fórmula indica algo como: la cantidad de información destruida ($\dim (\ker(L))$) más la cantidad de información que no se destruya ($\dim(\mathrm{range} (L))$) es igual a la cantidad original de información, que es$\dim(V)$.

Dejar$n=\dim\operatorname{Range}L$. Entonces hay una base$\{w_1,\ldots,w_n\}$de$\operatorname{Range}L$. Desde cada uno$w_k$está en el rango de$L$, hay algo$v_k\in V$tal que$L(v_k)=w_k$y desde$\{w_1,\ldots,w_n\}$es linealmente independiente, también lo es$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$. Ahora si$m=\dim\ker L$, dejar$\{v_1',v_2',\ldots,v_m'\}$ser una base de$\ker L$. resulta que entonces$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\cup\{v_1',v_2',\ldots,v_m'\}$es una base de$V$(eso no es difícil de probar), y por lo tanto