Demostrar que una transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Question

Demostrar que una transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra lineal
transformaciones lineales

Roberto

Estoy haciendo el siguiente problema como práctica para entender las transformaciones lineales.

Considere la transformación lineal $T:P_2 \rightarrow P_2$ definido por:
$T (pag (X)) = pag (X + 1)$ $T(p(x)) = p(x+1)$ Dónde $P_2$ es el espacio vectorial de polinomios de grado máximo 2. Determine si T es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

El problema Tengo problemas sobre cómo iniciar esto. Solo usando mi intuición diría que el $T$ es biyectiva en parte porque va de un espacio vectorial al mismo espacio vectorial. Pero no estoy seguro de cómo mostrar esto. Si alguien me puede ayudar se lo agradecería mucho.

B.Pasternak

'Solo usando mi intuición, diría que

T

$T$ es biyectiva en parte porque va de un espacio vectorial al mismo espacio vectorial.' Entonces, usando tu intuición, el mapa

R \to R

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,

x \to 0

$x\to0$ tambien es biyectiva?

Respuestas (2)

Demostrar que una transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

'Solo usando mi intuición, diría que $T$ es biyectiva en parte porque va de un espacio vectorial al mismo espacio vectorial.' Entonces, usando tu intuición, el mapa $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\to0$ tambien es biyectiva?

Juan Hughes · Answer 1

Pista:

Aquí hay un comienzo: para comprobar si $T$ es inyectiva, supongamos que $T(p) = T(q)$ . ¿Qué te dice eso? $p$ y $q$ y su relación entre sí? Si esto, a través de su conocimiento del álgebra, implica que $p = q$ , entonces $T$ es inyectable.

[Esta técnica es bastante general: es lo primero que debe hacer cada vez que intente probar la inyectiva de algo, a menos que sepa mucho más (p. ej., sepa que es una transformación matricial con rango completo, ...)]

infinitogrande · Answer 2

Inyectividad: Demostrar que $T(p)(x)=0$ para todos $x$ $\Leftrightarrow p(x)=0$ para todo x.

Sobreyectividad: Muestre que para cada $q\in P_2$ hay $p\in P_2$ tal que $T(p)(x)=q(x)$ para cada $x$ .

Nota: Desde $P_2$ es de dimensión finita, basta mostrar uno de estos.

Demostrar que una transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Roberto

B.Pasternak

Respuestas (2)

Juan Hughes

infinitogrande

¿Las transformaciones lineales deben ser inyectivas?

Transformación lineal y su matriz con respecto a bases desconocidas

¿Se garantiza que el conjunto de transformaciones lineales L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) contenga al menos una transformación inyectiva?

Intuición detrás del teorema de la dimensión [duplicado]

Si una matriz simétrica conmuta con todas las matrices simétricas, ¿es entonces un múltiplo de la identidad?

¿Conjunto de todas las transformaciones lineales no inyectivas un subespacio?

Transformaciones lineales linealmente independientes

Demuestra que dimim(f)+dimker(f)=dimVdim⁡im⁡(f)+dim⁡ker⁡(f)=dim⁡V\dim \operatorname{im}(f) + \dim \ker(f) = \dim V

Matriz de traducción 2-D

3blue1brow está haciendo visualmente la composición de transformaciones lineales