Transformación lineal y su matriz con respecto a bases desconocidas

Question

Transformación lineal y su matriz con respecto a bases desconocidas

matrices
Matemáticas
espacios vectoriales
álgebra lineal
transformaciones lineales

Hendrra

me dan una transformacion lineal

T : R^{3} \to R^{2}

$T:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^2}$

T ((X, y, z)) = (X + y, - y + z)

$T((x,y,z)) = (x+y,-y+z)$ La tarea de encontrar una base en

R^{3}

$\mathbb{R^3}$ , llamémoslo

B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}

$B=\{e_1, e_2, e_3\}$ y

R^{2}

$\mathbb{R^2}$ , llamémoslo

B^{'} = {f_{1}, f_{2}}

$B'=\{f_1, f_2\}$ tal que

A

$A$ es la matriz de esta transformación con respecto a las bases encontradas.

Aquí está la matriz $A$ :

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&2&0\end{bmatrix}$

Creo que no estoy seguro de cómo interpretar la matriz dada $A$ .

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¿Ha revisado sus notas para ver cómo una transformación lineal se representa mediante una matriz (en algunas bases)?

Hendrra

Tengo. Y entiendo cómo funciona cuando tenemos una matriz.

n \times n

$n \times n$ . Tengo algunos problemas, sin embargo, cómo interpretar matrices.

m \times n

$m \times n$ . @Cualquier

Respuestas (2)

Transformación lineal y su matriz con respecto a bases desconocidas

¿Ha revisado sus notas para ver cómo una transformación lineal se representa mediante una matriz (en algunas bases)?
Tengo. Y entiendo cómo funciona cuando tenemos una matriz. $n \times n$ . Tengo algunos problemas, sin embargo, cómo interpretar matrices. $m \times n$ . @Cualquier

egreg · Answer 1

De acuerdo con la definición de matriz asociada con respecto a las bases dadas, debe encontrar $\{e_1,e_2,e_3\}$ y $\{f_1,f_2\}$ tal que

\begin{aligned} T ({mi}_{1}) & = F_{1} \\ T ({mi}_{2}) & = 2 F_{2} \\ T ({mi}_{3}) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} T(e_1)&=f_1\\ T(e_2)&=2f_2\\ T(e_3)&=0 \end{align}$ Tenga en cuenta que el problema es indeterminado: puede encontrar infinitas bases con esta propiedad.

Primero encuentre una base para el núcleo de $T$ y tendrás $e_3$ . Luego complételo a una base para $\mathbb{R}^3$ y definir $\{f_1,f_2\}$ según la especificación.

Así que las soluciones pueden verse así: $Ker(T) = \{e_3: T(e_3) = 0\}$ así por ejemplo $e_3 = (-1, 1, 1)$ . ahora puedo encontrar $e_1, e_2: T(e_1) = (1, 1) \wedge T(e_2) = (0, 2)$ . Así tenemos: $e_1=(0, 1, 2), T(e_1) = (1, 1)$ y $e_2 = (-1, 1, 3), T(e_2) = (0, 2)$ . Eso nos da: $f_1 = (1, 1) \wedge f_2 = (0, 1)$ . Por supuesto, hay un número infinito de posibilidades diferentes. ¿Está bien hecho?

Factura · Answer 2

Puede encontrar la matriz de transformación por base estándar de $\mathbb R^3$ y $\mathbb R^2$ llamada base estándar. $\{ e_1,e_2,e_3\}$ para $\mathbb R^3$ y $\{ e_1,e_2\}$ para $\mathbb R^2$ . ahora

$T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0)=e_1$

$T(e_2)=T(0,1,0)=(1,-1)=e_1-e_2$

$T(e_3)=T(0,0,1)=(0,1)=e_2$

ahora la matriz de transformación con respecto a la base estándar es:

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} 1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$

Ahora podría encontrar fácilmente la base de su pregunta.

$T(e_1)=f_1$

$T(e_2)=2f_2$

$T(e_3)=0$

Además, la nulidad de T está atravesada por $e_3$ .

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Hendrra

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egreg

Hendrra

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Factura

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