Transformaciones lineales linealmente independientes

Actualmente estoy estudiando algunas teorías de transformaciones lineales simples. Siento que entiendo el 99%, pero todavía hay una cosa que no he podido resolver. Mi libro lo explica señalando que$M_n(\mathbb{F})$, por un campo$\mathbb{F}$es un$n^2$espacio vectorial dimensional. Luego continúan diciendo que si$\lbrace A_1, ... A_{n^2}\rbrace$es una base para$M_n(\mathbb{F})$, entonces las transformaciones lineales$\lbrace T_1, ..., T_{n^2} \rbrace$, cuyas matrices con respecto a$\lbrace v_1, ..., v_n \rbrace$son$A_1, ... A_{n^2}$formar una base de$L(V,V)$, el conjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial$V$a$V$.

Luego explican las transformaciones lineales.$T_{ij} \in L(V,V)$dada por$T_{ij}(v_j)=v_i$,$T_{ij}(v_k)=0, k \neq j$, son una base de$L(V,V)$encima$\mathbb{F}$.

Tengo dos preguntas principales: (1) ¿cómo sabemos que$T_{ij}$son linealmente independientes? y (2) esto quizás pueda responder 1, ¿qué significa$T_{ij} \in L(V,V)$decir, en la forma en que lo han descrito? Por alguna razón, esta noción/concepto detrás de esto no tiene sentido para mí. Entiendo que la base para$M_n(\mathbb{F})$son las matrices con 1 en el$i,j$posición, pero ¿cómo se traduce esto en las transformaciones lineales dadas por$T_{ij}$?

Cualquier explicación útil sería muy apreciada.

Cuando estoy leyendo la notación para describir$T_{ij}$, no puedo dejar de pensar que dado que hay una y sólo una transformación lineal tal que$T(v_i)=v_i$, que tenemos repeticiones de las mismas transformaciones lineales como base de$L(V,V)$, por lo que la dimensión de$L(V,V)$no sería$n^2$. Pero esto es claramente incorrecto...