¿Las transformaciones lineales deben ser inyectivas?

Recientemente he estado estudiando álgebra lineal y estoy empezando a preguntarme si una forma de saber si una función es una transformación lineal es si es inyectiva o, en otras palabras, probar el valor de verdad de la afirmación "si una función es una transformación lineal, entonces es inyectiva".

Para ser claro, daré una definición aproximada de transformaciones lineales:

Una transformación lineal es una función.$f:X \to Y$dónde$X$y$Y$son espacios vectoriales, satisfaciendo lo siguiente:

Para todos los vectores$\hat{x},\hat{y} \in X,$ $f(\hat{x}+\hat{y})=f(\hat{x})+f(\hat{y})$

Para todos los escalares$c$,$f(c \cdot \hat{x})=c \cdot f(\hat{x})$

Una cosa que noto es que parecería que todas las funciones que puedo imaginar que no satisfacen estas condiciones no son inyectivas.

No inyectable:

$\bullet \, \sin(x+y)\neq \sin(x)+ \sin(y) \hspace{1cm} \sin(cx) \neq c \cdot \sin(x)$

$\bullet \, |x+y| \neq |x|+|y| \hspace{1cm} |cx| \neq c \cdot|x|$

Ahora considere las funciones que satisfacen la definición:

inyectivo:

$\bullet$Cualquier recta que pase por el origen:$\, f(x)=a \cdot x; \, a(x+y)=a \cdot x + a \cdot y$y$a \cdot (cx) = c (a \cdot x)$

Supongo que la inyectividad a menudo ayuda para las transformaciones lineales, pero me imagino que no es una necesidad. Por ejemplo, la función$f(x)=x^3$es inyectable pero seguramente$(x+y)^3 \neq x^3 + y^3$

Parece que he respondido a mi propia pregunta en el sentido de que "las transformaciones lineales no necesitan ser inyectivas", pero ¿existe una prueba de la noción de que "todas las funciones no inyectivas no son transformaciones lineales?"