¿Se descarga el circuito RC mientras está conectado a una batería?

Si entendí bien el problema, tenemos una batería de +5V conectada a un$200 \Omega$resistencia, y$10\mu F$condensador después. Luego, de repente cambiamos la batería por una$-5V$uno, ¿verdad? Si es así, el esquema sería algo así:

Etapa 1 (antes del interruptor de la batería)

Entonces, supongamos que, inicialmente, el capacitor ha alcanzado un valor estacionario de$+5V$. Se ha estado cobrando desde cualquier lugar a$+5V$, al igual que la propia batería. Por supuesto que es exponencial. El condensador tiende a$+5V$asintóticamente, pero podemos aproximarnos a que es$+5V$, idealmente.

En este punto, el condensador ya no es conductor, por lo que solo vemos un$+5V$batería conectada a una resistencia. No fluye corriente a través del condensador, por lo que se comporta como un circuito abierto. Como consecuencia, es como una rama desconectada, sin caída de tensión en la resistencia, por lo que la caída de tensión en el condensador es la misma que en la batería.$v=5V$.

Eso es lo que vemos hasta la línea azul.

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Etapa 2 (interruptor de batería)

Presionamos el conmutador y ahora la batería cambia repentinamente a$-5V$. Este sigue siendo un circuito RC, por lo que debemos resolver nuevamente por las leyes de Kirchhoff:

$V_{bat}=V_{R}+V_C$

Básicamente dice que "la caída de voltaje a través de los elementos es igual al voltaje inyectado por la batería. Equivalentemente, "suma de voltajes = 0". El caso es que podemos escribir:

$V_{C}=V_{bat}-V_R$

Y conocemos la caída de voltaje a través de una resistencia. viene dada por la ley de Ohm:

$V_C=V_{bat}-I\cdot R$.

El voltaje de la batería es fijo ($-5V$). Y lo que es$I$? Bueno, es un circuito en serie. La intensidad debe ser la misma en todo$R$y$C$. Y sabemos que la corriente a través del capacitor es$I_C=C \frac{dV_C}{dt}$. Así, tenemos:

$$V_C=-5V - RC \frac{dV_C}{dt}$$

Mira esto$V_C$, la incógnita, está sola y dentro de una derivada, por lo que esta es una ecuación diferencial.

Afortunadamente, es separable:

$$\frac{dV}{dt}=\frac{-1}{RC} (V+5V) \qquad \Rightarrow \qquad \frac{dV}{V+5V}=\frac{-dt}{RC}$$

Esto es facil:

$$\left[\ln (V+5V) \right]_{t=0}^{t}=\frac{-\Delta t}{RC}$$

$$\ln (V+5V) -\ln (+5V+5V) =\frac{-\Delta t}{RC}$$

$$\ln (V+5V) -\ln (10V) =\frac{-\Delta t}{RC}$$

$$\ln \left(\frac{V+5V}{10V}\right) =\frac{-\Delta t}{RC}$$

$$\left(\frac{V+5V}{10V}\right) =e^{-\Delta t/RC}$$

$${V =-5V+10V\cdot e^{-\Delta t/RC}}$$

Esto es coherente con el esquema. Ahora, supongo que puedes obtener tu respuesta directamente.

Resolvamos esta pregunta. Lo que en realidad estás haciendo es poner una fuente de voltaje de pulso en el circuito RC.

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Bueno, cuando tenemos un circuito RC en serie , podemos usar la transformada de Laplace para analizarlo en detalle. Usando la ley de Faraday podemos escribir:

$$\text{v}_\text{s}\left(t\right)=\text{v}_\text{R}\left(t\right)+\text{v}_\text{C}\left(t\right)\tag1$$

Usando las relaciones de voltaje y corriente en un resistor y un capacitor, podemos reescribir la ecuación$(1)$como sigue:

$$\text{v}_\text{s}'\left(t\right)=\text{i}_\text{R}'\left(t\right)\cdot\text{R}+\text{i}_\text{C}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}\tag2$$

Debido a que es un circuito en serie, sabemos que la corriente de entrada,$\text{i}_\text{in}\left(t\right)$, es lo mismo que la corriente a través de la resistencia y el condensador, por lo que podemos escribir:

$$\text{v}_\text{s}'\left(t\right)=\text{i}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{R}+\text{i}_\text{in}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}\tag3$$

Utilizando la transformada de Laplace y suponiendo que las condiciones iniciales son iguales a$0$podemos escribir para la ecuación$(3)$:

$$\text{s}\cdot\text{V}_\text{s}\left(\text{s}\right)=\text{s}\cdot\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)\cdot\text{R}+\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}\space\Longleftrightarrow\space\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)=\frac{\text{s}\cdot\text{V}_\text{s}\left(\text{s}\right)}{\text{s}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{C}}}\tag4$$

Escribiendo el voltaje de suministro en el dominio s obtenemos:

$$\text{V}_\text{s}\left(\text{s}\right)=\int_0^{t_1}\hat{\text{u}}\cdot e^{-\text{s}t}\space\text{d}t+\int_{t_1}^\infty\text{u}\cdot e^{-\text{s}t}\space\text{d}t=\frac{1}{\text{s}}\cdot\left(\hat{\text{u}}\cdot\left(1-\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)+\text{u}\cdot\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)\tag5$$

Dónde$\hat{\text{u}}$es el potencial de voltaje alto (positivo) (en su caso$+5\space\text{V}$y$\text{u}$es el potencial de voltaje bajo (negativo) (en su caso$-5\space\text{V}$.

Entonces, para la corriente de entrada obtenemos:

$$\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)=\frac{\text{s}}{\text{s}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{C}}}\cdot\frac{1}{\text{s}}\cdot\left(\hat{\text{u}}\cdot\left(1-\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)+\text{u}\cdot\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)=$$ $$\frac{\hat{\text{u}}\cdot\left(1-\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)+\text{u}\cdot\exp\left(-\text{s}t_1\right)}{\text{s}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{C}}}\tag6$$

Entonces, el voltaje a través del capacitor está dado por:

$$\text{V}_\text{c}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{s}\cdot\text{C}}\cdot\frac{\hat{\text{u}}\cdot\left(1-\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)+\text{u}\cdot\exp\left(-\text{s}t_1\right)}{\text{s}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{C}}}\tag7$$

Y para el voltaje a través de la resistencia obtenemos:

$$\text{V}_\text{R}\left(\text{s}\right)=\text{R}\cdot\frac{\hat{\text{u}}\cdot\left(1-\exp\left(-\text{s}t_1\right)\right)+\text{u}\cdot\exp\left(-\text{s}t_1\right)}{\text{s}\cdot\text{R}+\frac{1}{\text{C}}}\tag8$$

Usando tus valores:$\text{R}=200\cdot10^3\space\Omega$,$\text{C}=10\cdot10^{-6}\space\text{F}$,$\hat{\text{u}}=5\space\text{V}$,$\text{u}=-5\space\text{V}$y suponga un tiempo de cambio de$1$minuto obtenemos (usando la transformada inversa de Laplace):

• $$\text{i}_\text{in}\left(t\right)=\frac{\exp\left(-\frac{t}{2}\right)}{40000}\cdot\left(1-\exp\left(30\right)\cdot\theta\left(t-60\right)\right)\tag9$$
• $$\text{v}_\text{C}\left(t\right)=5\cdot\left(1-\exp\left(-\frac{t}{2}\right)\right)+10\cdot\left(\exp\left(30-\frac{t}{2}\right)-1\right)\cdot\theta\left(t-60\right)\tag{10}$$
• $$\text{v}_\text{R}\left(t\right)=5\cdot\exp\left(-\frac{t}{2}\right)\cdot\left(1-2\cdot\exp\left(30\right)\cdot\theta\left(t-60\right)\right)\tag{11}$$

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Trazar la solución, usando Mathematica da:

Donde la curva azul es el voltaje de entrada, la curva naranja es el voltaje en la resistencia, la curva verde es el voltaje en el capacitor y la curva roja es la corriente de entrada (también la corriente a través de los componentes).

Un capacitor cargado por una batería de 5V se convierte en una batería momentánea de 5V, cuando el cambio de polaridad ocurre con una batería nueva de 5V, el potencial a través del capacitor es el mismo que el potencial a través de la batería pero con polaridad inversa. Por lo tanto, el capacitor se descarga tal como lo haría sin una batería nueva conectada, por lo que el tiempo de descarga se calculará normalmente.

Un capacitor completamente cargado se descarga al 63% de su voltaje después de un período de tiempo. Después de 5 períodos de tiempo, un capacitor se descarga hasta cerca del 0% de todo el voltaje que alguna vez tuvo. Por lo tanto, es seguro decir que el tiempo que tarda un capacitor en descargarse es 5 constantes de tiempo.

Para calcular la constante de tiempo de un capacitor, la fórmula es τ=RC. Este valor da el tiempo (en segundos) que tarda un capacitor en descargarse al 63% del voltaje que lo está cargando. Después de 5 constantes de tiempo, el capacitor se descargará a casi el 0% de todo su voltaje.

$τ_t=5RC=5(2)=10 s$

http://www.learningaboutelectronics.com/Articles/How-time-does-it-take-to-discharge-a-capacitor