Constante de tiempo versus vida media: ¿cuándo usar cuál?

"¿Cuál es una forma simple e intuitiva de saber la diferencia entre el tipo de sistemas en los que la vida media es útil y los sistemas en los que las constantes de tiempo son más significativas?"

Para los sistemas que obedecen a una relación de decaimiento exponencial, se puede usar la vida media o la constante de tiempo. Creo que es en gran parte una cuestión de tradición que la vida media ($t_{1/2}$) se utiliza para radiactividad y constante de tiempo ($\tau$) para circuitos C–R y L–R. La relación entre ellos es

• Para los circuitos CR o LR, antes de los días de las calculadoras electrónicas, era marginalmente más fácil calcular$\tau =\frac LR$o$\tau =CR$que calcular$t_{1/2}=(\ln 2)CR$.

• y podría decirse que hay menos motivación para saber cuánto tardará en reducirse a la mitad un voltaje a través de un condensador que cuánto tardará en reducirse a la mitad una actividad radiactiva. Para el comportamiento del circuito, una idea general de un tiempo característico suele ser lo que importa, y$\tau$es tan bueno como$t_{1/2}$.

• El profano inteligente está más interesado en la radiactividad que en la descarga de condensadores y es más fácil explicar la idea de vida media que la de constante de tiempo, o su recíproca constante de decaimiento. [Hubo un gran interés popular (véanse, por ejemplo, los capítulos de los libros más vendidos de Jeans y Eddington) en la radiactividad en las primeras décadas después de su descubrimiento.]

Creo que la razón principal por la que se usan constantes de tiempo en primer lugar es que esto causa la menor probabilidad de constantes molestas en los cálculos. Es la misma razón por la que$\exp(x)$es más popular que$2^x=\exp(x\ln 2)$: si derivas lo último (que se hace muy a menudo), obtienes el logaritmo natural de 2 arrastrándose en tus ecuaciones.

Por otro lado, para los procesos transitorios, la vida media se relaciona simplemente con el período en el que el cambio es equidistante entre el estado inicial y final (al menos asintóticamente). Como ilustración, tome un circuito RC que está cargado con una función de paso (voltaje de encendido): después de la vida media, el voltaje real está a medio camino entre 0 y +V, lo que da a muchas personas la sensación de que saben dónde comienza cualquier cosa interesante. suceder en términos de la "cantidad" de algo: debido a que muchas tareas de ingeniería también son de naturaleza económica (y la economía es a menudo una decisión binaria, es decir, "comprar o no comprar"), la vida media parece ser algo así como un punto de equilibrio entre el esfuerzo y la ganancia. Lo cual, por supuesto, no es un buen caso para el circuito RC, porque la gente suele usar la constante de tiempo para ello. POR CIERTO, es casi la misma situación que en el rango de frecuencia (filtros) donde la reducción a la mitad de la "cantidad" es de mayor interés (dado por límites de 3dB o 6dB, dependiendo de si se considera la amplitud o la potencia). Pero estos argumentos son, por supuesto, bastante subjetivos.

Por lo tanto, reiteraré el argumento de Gaviota Sorprendida, para usar en general lo que otros en el campo consideren apropiado.

Una heurística incorrecta pero un poco útil es usar una constante de tiempo para eventos que son repetitivos y una vida media para eventos que son únicos.

Más útil es usar cualquier cosa que otros usen en ese campo en particular. Vida media para radiactividad, constante de tiempo para filtros electrónicos, tiempo hasta falla para cálculo de confiabilidad, porcentajes anuales de dinero, tasa de natalidad en demografía, valor R para enfermedades, bushels por acre en agricultura.

El uso de valores que no son comunes en ese campo no es bienvenido en general. Como la vida media negativa para el crecimiento de la población o el valor R para el crecimiento del dinero. Probablemente entenderán lo que quieres decir, pero seguro que no les gustará.

Es solo una cuestión de gusto si prefiere escribir un decaimiento exponencial con la constante de tiempo$\tau$y poderes de$e$

Ambas formas son equivalentes y puede cambiar entre ellas usando

(1) parece más natural desde un punto de vista matemático, porque aparece directamente como la solución de la ecuación diferencial

Y (2) es más fácil de comprender incluso para un profano en matemáticas, que no conoce el significado de$e$.

Incluso para los sistemas radiactivos, el uso puede ser mixto. Los isótopos se informan como vidas medias, pero los nucleones individuales o las partículas fundamentales a menudo se informan como vidas.

Véase, por ejemplo, https://pdg.lbl.gov/2021/web/viewer.html?file=../tables/rpp2021-sum-leptons.pdf donde los leptones muon y tau tienen su decaimiento citado como vidas medias, ¡a pesar de que la descomposición es similar en calidad a los núcleos radiactivos!

Notarás que muchas partículas tienen una medida de ancho en su lugar; esto se utiliza para sistemas de muy corta duración. La misma notación se usa ocasionalmente para sistemas con vidas extremadamente cortas, por ejemplo, 8Be, que tiene unidades de eV para describir su descomposición: https://www.nndc.bnl.gov/nudat3/reCenter.jsp?z=4&n=4

Dado esto, creo que a menudo son solo razones históricas por las que se usa uno frente al otro. Pero en el caso de vidas extremadamente pequeñas, a menudo tampoco lo es.