Derivación de la conservación de la energía para la materia a partir de las ecuaciones de Friedmann usando la ecuación de continuidad

Question

manotech

Definir:

ρ Densidad

$\rho \qquad \text{Density}$

PAG Presión

$P \qquad \text{ Pressure}$

H = \frac{1}{a} \frac{d a}{d t} Factor Hubble

$H=\frac 1 a \frac{da}{dt} \qquad \text {Hubble Factor}$

Asumiendo la métrica FRW, luego de las ecuaciones de Friedmann obtenemos (para un Universo fluido perfecto):

\frac{d ρ}{d t} = - 3 H (ρ + PAG) Ecuación de continuidad

$\frac{d\rho}{dt} = -3H(\rho+P) \qquad \text{Continuity Equation}$

como demuestro:

d mi = - PAG d V

$dE=-PdV$

dónde $dE=\frac{d(\rho L^3 a^3)}{dt}$ es la energía dentro de un elemento de volumen $dV=a^3 L^3$ de tamaño co-móvil $L^3$

gravitino · Answer 1

La clave aquí es sustituir el factor de Hubble y multiplicar por $a^3$ :

a^{3} \frac{d ρ}{d t} = - 3 a^{2} \frac{d a}{d t} (ρ + PAG)

$a^3 \frac{d\rho}{dt} = -3a^2 \frac{da}{dt}(\rho+P)$

y después de algunos arreglos,

a^{3} \frac{d ρ}{d t} + 3 a^{2} \frac{d a}{d t} ρ = - 3 a^{2} \frac{d a}{d t} PAG

$a^3 \frac{d\rho}{dt} +3a^2 \frac{da}{dt}\rho = -3a^2 \frac{da}{dt}P$

\frac{d}{d t} (a^{3} ρ) = - PAG \frac{d}{d t} (a^{3})

$\frac{d}{dt} (a^3 \rho) = -P \frac{d}{dt} (a^3)$

\frac{d}{d t} (L^{3} a^{3} ρ) = - PAG \frac{d}{d t} (L^{3} a^{3})

$\frac{d}{dt} (L^3 a^3 \rho) = -P \frac{d}{dt} (L^3 a^3)$

recuperas la conocida relación termodinámica. En el último paso he usado eso $L$ es independiente de $t$ (el tiempo de co-movimiento ).