¿Por qué ∇μTμν=0∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 es válido para las teorías f(R)f(R)f(R)?

Difeomorfismo invariancia de la acción de la materia$S_m$conduce (a través del segundo teorema de Noether ) a la identidad$^1$

$$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0, \qquad T^{\mu\nu}~:=~\mp\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \tag{1}$$

cf. por ejemplo, ref. 1. [Aquí el$\stackrel{m}{\approx}$símbolo significa igualdad módulo materia eoms. La conexión$\nabla$es la conexión Levi-Civita. La convención de signos de Minkowski es$(\pm,\mp,\mp,\mp)$.]

Referencias:

1. RM Wald, GR; Apéndice E.1.

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$^1$Tenga en cuenta que la ec. (1) no es una ley de conservación en sí misma. Para obtener una ley de conservación, necesitamos un campo vectorial Killing, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Considere que obtiene las ecuaciones de campo estableciendo$\delta S=0$, dónde$S$es la acción tomada.

Recuerda que para las teorías f(R), la acción es:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,f(R)+\mathcal{L}_m\right)$

y las ecuaciones de campo originales de Einstein solo se modifican en el lado izquierdo de la igualdad ("términos geométricos"):

$\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}R_{\mu\nu}-\dfrac{f(R)}{2}g_{\mu\nu}+\left[g_{\mu\nu}g^{\alpha\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}-\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\right]\dfrac{\partial f(R)}{\partial R}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$.

Para la Relatividad General, la acción de Einstein-Hilbert es:

$S=\dfrac{16\pi G}{c^4}\int\,d^4\mathbf{x}\,\left(\sqrt{-g}\,R+\mathcal{L}_m\right)$

y así se obtienen las famosas y conocidas ecuaciones de campo de Einstein:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

donde, como puede ver, aún no llegamos a la constante cosmológica (o la densidad de energía del vacío).

Puede tomar la definición del tensor de tensión-energía como:

$T_{\mu\nu}=\,-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\,\delta\,\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m\right)}{\delta\,g^{\mu\nu}}$

para cualquier acción dada donde$\mathcal{L}_m$es el lagrangiano de la materia presente en su configuración espacio-temporal, correspondiendo al final en el tensor tensión-energía.

Desde arriba puede ver que los "términos de energía-momento" en el lado derecho de las ecuaciones son los mismos para ambas teorías y se agregan manualmente en las acciones. Típicamente, obtenemos ecuaciones de campo de Einstein que toman acción EH despreciando$\mathcal{L}_m$para vacío:

$R_{\mu\nu}-\dfrac{R}{2}g_{\mu\nu}=0\,$para$\,\mathcal{L}_m=0$

La ley de conservación seguirá siendo obedecida a partir de la definición de la acción para f(R).