Conservación de la energía frente a la expansión del espacio [duplicado]

La energía oscura es una forma de energía que parece tener una densidad constante en el espacio incluso cuando el universo se expande. El modelo más simple para esto es una constante cosmológica en las ecuaciones del campo gravitacional. Este modelo concuerda con las observaciones. Qué es realmente la energía oscura o si este modelo es correcto no viene al caso aquí. Mi respuesta asume esta hipótesis. La pregunta que debemos responder es ¿cómo podemos reconciliar la conservación de energía con ese modelo?

A medida que el universo se expande, la cantidad de energía oscura en un volumen en expansión aumenta en proporción al volumen. Mientras tanto, la cantidad de energía contenida en la materia fría permanece constante. Por lo tanto, parece que la energía oscura se está creando de la nada en violación de la ley de conservación de la energía. De hecho también hay una contribución negativa de energía en el campo gravitatorio debido a la expansión dinámica del propio espacio. A medida que la expansión del universo se acelera debido a la energía oscura, la magnitud de esta energía gravitacional de fondo negativa aumenta. Esto coincide con todas las demás formas de energía para que el total sea constantemente cero y se conserve la energía.

La ecuación de la energía en los modelos cosmológicos estándar para un universo en expansión que incluye la radiación y la energía oscura, así como la materia ordinaria, se puede derivar de estas formulaciones y es la siguiente:

$E = Mc^2 + \frac{\Gamma}{a} + \frac{\Lambda c^2}{\kappa}a^3 - \frac{3}{\kappa}\dot{a}^2a - Ka = 0$

$E$es la energía total en una región de volumen en expansión$a(t)^3$. Esto siempre llega a cero en una cosmología perfectamente homogénea.

$a(t)$es el factor de expansión universal en función del tiempo normalizado a 1 en la época actual. Comenzó como cero y aumenta con el tiempo a medida que el universo se hace más grande.

$\dot{a}$es la derivada de$a$con respecto al tiempo, en otras palabras, es la tasa de expansión del universo.

$M$es la masa total de materia en la región

$c$es la velocidad de la luz

$\Gamma$es la densidad de la radiación cósmica normalizada a la época actual

$\Lambda$es la constante cosmológica también conocida como energía oscura, que se cree que es positiva.

$\kappa$es la constante de acoplamiento gravitatorio. En términos de la constante gravitacional de Newton$G$está$\kappa = \frac{8\pi G}{c^2}$.

$K$es una constante que es positiva para el espacio esférico cerrado, negativa para el espacio hiperbólico y cero para el espacio plano.

Esta ecuación nos dice que la energía positiva en la materia, la radiación y la energía oscura está perfectamente equilibrada por una cantidad negativa de energía en el campo gravitatorio que depende de la tasa de expansión del universo. A medida que el universo se expande la escala de longitud$a(t)$aumenta La cantidad de energía en la materia ordinaria.$Mc^2$es constante en un volumen en expansión. La energía de radiación$\frac{\Gamma}{a}$disminuye debido al corrimiento al rojo cósmico y la cantidad de energía oscura$\frac{\Lambda c^2}{\kappa}a^3$aumenta a medida que se expande el volumen. La tasa de expansión debe ajustarse para que la energía gravitatoria negativa equilibre la suma de estas energías. En particular, la energía oscura debe eventualmente convertirse en el término positivo dominante y la expansión del espacio se acelera para equilibrar la ecuación energética.

Algunas personas afirman incorrectamente que la energía no se conserva en un universo en expansión porque el espacio-tiempo no es estático. La ley de conservación de la energía se deriva del teorema de Noether cuando las ecuaciones dinámicas no cambian con el tiempo. Estas personas confunden la invariancia de las ecuaciones con la invariancia de la solución. El espacio-tiempo cambia pero las ecuaciones obedecidas por el universo en expansión no cambian. El espacio-tiempo no puede tratarse como un trasfondo, su dinámica debe incluirse al derivar las ecuaciones de energía a través del teorema de Noether. Esto conduce a las ecuaciones anteriores que muestran que la energía se conserva.

La conservación de la energía se basa en la simetría de su sistema bajo la traducción del tiempo (vea el Teorema de Noether). En un sistema que no es invariante en la traducción del tiempo, por ejemplo, un universo en expansión, la energía no tiene que conservarse.

La afirmación de que la conservación de energía no se cumple en GR es discutible, ya que cualquier elección de campo vectorial similar al tiempo producirá tal ley a través del segundo teorema de Noether (la conservación de energía en GR fue, de hecho, la razón por la que Noether desarrolló sus teoremas en primer lugar) . Sin embargo, estas leyes son (en la terminología de Noether) 'impropias', es decir, dadas a través de combinaciones lineales de identidades diferenciales dadas por las 'expresiones lagrangianas' y sus derivadas (cf. Invariant Variational Problems de Emmy Nother).

Desde la perspectiva más práctica de la física, el problema con estas leyes es que contienen una contribución deslocalizada que no se puede asociar con una densidad de energía. Una analogía clásica sería la conservación de energía en marcos de referencia acelerados, con la salvedad de que, en contraste con la mecánica clásica, en GR no podemos simplemente ir a un marco inercial para hacer que todas las fuerzas 'ficticias' desaparezcan globalmente.

Ahora, para su caso específico (por conveniencia, consideraré el modelo de Friedmann espacialmente plano), resulta que si elegimos el tiempo cósmico como nuestro campo de parámetros, terminaremos con la primera ecuación de Friedmann

o más sugestivamente

con aportes positivos de materia y energía oscura balanceados por un aporte negativo que identificamos con el campo gravitatorio.

Aparte, también podemos reescribir la segunda ecuación de Friedmann

de una manera que, dependiendo de su punto de vista, sea revelador o engañoso.

Calcular$\dot H$derivando la primera ecuación e insertándola en la segunda, sustituya$H^2$también y llegarás a

Ahora, considere un volumen finito$V=(R_0a)^3$. Como$H = \dot V / 3V$multiplicando por$V$rendimientos

o con$U = \rho V$

Tenga en cuenta la falta de contribuciones explícitas de la energía oscura o la gravedad, aunque implícitamente contribuyen dinámicamente.

En la pregunta sobre la energía oscura di una respuesta elemental que se reduce a la mecánica newtoniana. El marco de Hubble tiene la propiedad notable de que uno puede mirar la cosmología local de una manera newtoniana. La energía total se pone a cero. Esto da un resultado acorde con la teoría de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker del universo en expansión. Incluso cubre la expansión acelerada del espacio-tiempo de De Sitter.

Esta ley de conservación es, en el mejor de los casos, local y es una manifestación de nuestro marco local. Las métricas de espacio-tiempo para cosmologías son soluciones de tipo O en el esquema de Petrov y no tienen vectores Killing. En la relatividad general un vector Killing$\xi_\mu$debe actuar como una isometría al proyectar en un vector, digamos el vector de momento$P^\mu$así que eso$\xi_\mu P^\mu~=~const$. Esto da los resultados del teorema de Noether para las leyes de conservación. Las cosmologías carecen de esta propiedad a nivel global, lo cual es una de las razones por las que el pequeño modelo newtoniano que presento arriba debe fallar en algún nivel.