¿Se aplica el modelo Black-Scholes a las opciones de estilo americano?

Después de leer el artículo de Wikipedia sobre el modelo Black-Scholes , me parece que solo se aplica a las opciones europeas según esta cita:

El modelo Black-Scholes (pronunciado /ˌblæk ˈʃoʊlz/ 1 ) es un modelo matemático de un mercado financiero que contiene ciertos instrumentos de inversión derivados. A partir del modelo, se puede deducir la fórmula de Black-Scholes, que da el precio de las opciones de estilo europeo.

y

Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar y hay disponible una selección de técnicas de solución (por ejemplo, celosías y cuadrículas).

¿Es esto correcto? Si es así, ¿hay un modelo similar para las opciones de estilo americano? Mi entendimiento anterior era que el precio de las opciones se basaba en su valor intrínseco + el valor del tiempo. Sin embargo, no estoy seguro de cómo se llega a estos valores.

Encontré esta pregunta/respuesta relacionada, pero no aborda esto directamente: ¿Por qué las opciones de estilo americano valen más que las opciones de estilo europeo?

Respuestas (6)

La diferencia entre una opción americana y una europea es que la opción americana se puede ejercer en cualquier momento, mientras que la opción europea se puede liquidar solo en la fecha de liquidación. La opción americana es un instrumento de "tiempo continuo", mientras que la opción europea es un instrumento de "punto en el tiempo". Black Scholes se aplica a la última opción, la europea. Bajo "ciertas" (pero de ninguna manera todas) circunstancias, los dos están lo suficientemente cerca como para ser considerados sustitutos.

Uno de sus discípulos, Robert Merton, lo "modificó" para describir las opciones estadounidenses. Hay debates sobre esto y otros ajustes, años después.

Black-Scholes está "lo suficientemente cerca" para las opciones estadounidenses, ya que generalmente no hay razones para ejercitarse temprano, por lo que la capacidad de hacerlo no importa. Lo cual es bueno ya que es difícil modelar matemáticamente, he leído.

El ejercicio anticipado generalmente sería causado por una extraña valoración errónea por alguna razón técnica o de acción del mercado en la que las valoraciones teóricas de las opciones están en mal estado. Si vende una opción call que está muy dentro del dinero y no obtiene ningún valor en el tiempo (después del diferencial), por ejemplo, probablemente le vendió la opción call a un arbitrajista que simplemente la ejercerá. Pero cosas inusuales como esta no cambian mucho el panorama general.

Buen uso de la palabra arbitrageur ! Nunca había visto esa palabra antes; Tuve que ir a buscar ese.
-1 "difícil de modelar matemáticamente"?!? Lo siento, no puedo entender eso en absoluto. Puede modelar fácilmente retículos y ecuaciones de recurrencia con una hoja de cálculo después de calcular las tasas y luego las últimas valoraciones aplicando el max(C-K, 0), donde Cestá el valor de ejercicio anterior y Kes el valor de compra para la opción corta (inversamente para la opción larga) y luego recurrencia hacia atrás con \frac{1}{1+r}(qC_{u} + (1-u)C_{d})donde C_{u}está el último valor superior y C_{d}es el último valor inferior y qes la tasa libre de arbitraje (suponiendo una situación sin arbitraje). Modelo discreto.
... ¿o quiso decir con toughlas derivadas parciales y la función z browniana en Black-Scholes o algo más? Matemáticamente, el modelo más simple no es difícil, solo algunos procesos estocásticos, recursión y derivadas parciales.
... lo siento, puedo estar malinterpretando tu oración en esta respuesta. Por favor, aclárelo y eliminaré el voto negativo cuando comprenda exactamente lo que quiere decir. De acuerdo con mis notas de la conferencia, ciertos procesos estocásticos diferenciales como Monte Carlo son deficientes para simular opciones americanas u otro instrumento que se pueda ejercer antes del tiempo final. Del mismo modo, Black Scholes es pobre hasta que discretizas la ecuación f(S,t)según el tiempo y el valor. Al discretizar, debe establecer restricciones y resolver ecuaciones algebraicas, pero puede causar imprecisiones.
La wikipedia sobre Black-Scholes dice que "las opciones americanas... son más difíciles de valorar y hay disponible una selección de técnicas de solución (por ejemplo, celosías y cuadrículas)". en.wikipedia.org/wiki/Option_style dice "No hay fórmulas generales para las opciones estadounidenses, pero hay disponible una selección de modelos para aproximar el precio". Estoy bastante seguro de que he leído lo mismo en fuentes más sólidas que Wikipedia. Para la mayoría de los propósitos, necesita conocer la relación entre el tiempo, el precio, el ejercicio, la tasa de interés y la volatilidad, por eso digo que BS está lo suficientemente cerca, porque es lo mismo para las opciones estadounidenses.
Por "la relación es la misma" entre esos factores, me refiero a fines prácticos que yo sepa. Estoy seguro de que hay algunos sistemas informáticos de negociación y fondos de cobertura aterradores que deben ser más detallados, pero para los inversores individuales solo necesita comprender cómo el tiempo hasta el vencimiento, el precio de ejercicio, el precio subyacente, las tasas de interés y la volatilidad influyen en la opción. valor.

Solo algunas observaciones dentro del marco de Black-Scholes:

  • Las llamadas estadounidenses tienen el mismo precio que las llamadas europeas en activos que no pagan dividendos.
  • La fórmula de Black-Scholes es aplicable únicamente a las opciones europeas (y, por lo anterior, a las llamadas americanas sobre activos que no pagan dividendos).
  • Por la paridad de call-put, si tiene precios europeos de call para algunas fechas de vencimiento y strikes, también tiene los precios europeos de put para esas fechas de vencimiento y strikes.
  • Si tiene precios de llamadas europeas para una fecha de vencimiento T dada para todos los strikes, puede calcular fácilmente el precio de cualquier pago "europeo" para ese vencimiento (por ejemplo, una llamada digital V = 1_{S>K}, o una parábola V = S ^ 2, o lo que sea). Conceptualmente, forma diferenciales de mariposa __/\_ para una serie de strikes crecientes, y le dan la probabilidad "neutral al riesgo" de que termine allí, y luego simplemente integra sobre su pago.

A continuación, ahora puede usar el marco de Black-Scholes (el precio de las acciones es un movimiento browniano geométrico, sin costos de transacción, tasa de interés única, etc., etc.) y métodos numéricos (como un solucionador PDE) para cotizar opciones de estilo americano numéricamente, pero no con una fórmula de forma cerrada simple (aunque hay aproximaciones de forma cerrada).

Una tangente menor. Se puede afirmar que el S&P tiene un rendimiento medio de, digamos, 10 % y una desviación estándar de, digamos, 14 % más o menos, pero cuando analizas eso, descubres que los rendimientos reales no se ajustan tan bien a la curva de campana estándar. Las anomalías del mercado que producen la "inundación de 100 años" con mucha más frecuencia de lo previsto incluso durante un período de 20 años. Esto solo significa que el modelo no refleja la realidad en las colas, incluso si las desviaciones estándar de +/- 2 se ven bonitas.

Esto también se aplica a los Black-Sholes (casi lo abrevié a iniciales, luego lo pensé mejor, en realidad me gusta el modelo). La distinción entre americano y europeo es lo suficientemente pequeña como para que la precisión del modelo sea más amplia que la diferencia de estos dos estilos opcionales. Creo que si observa el modelo y el precio real, puede determinar la volatilidad de una acción determinada utilizando precios alrededor del precio de ejercicio, pero cuando luego modela las opciones sin dinero, a menudo encuentra que el mercado crea su propia valoración. .

Eso tiene perfecto sentido. Si los precios fueran tan predecibles, el sistema no funcionaría. Resulta que el sistema realmente funciona porque los precios son algo impredecibles.
También puedo continuar un poco sobre cómo, para muchos strikes, el volumen es tan bajo que no se puede esperar que el precio refleje el valor real. Si tuviera la habilidad y el poder de procesamiento, buscaría cierto tipo de actividad para encontrar indicaciones de comportamiento inusual. Ese comportamiento puede reflejar comercio ilegal, por lo que se necesita cuidado. Si su comercio sigue y tiene buenos registros, no lo atraparán por el mismo uso de información privilegiada que hicieron los primeros muchachos.
If I had the skill and processing power, I'd scan for certain type of activity to find indications of unusual behavior.¿No existen herramientas en línea que harán esto por usted?
"10 % de rendimiento medio... 14 % de desviación estándar... encuentra que los rendimientos reales no se ajustan muy bien a la curva de campana estándar". Parece que piensas que la media y la desviación estándar son exclusivas de la curva de campana (Gauss). Eso no es cierto. Hay un número infinito de distribuciones, incluso para una media y una desviación estándar dadas. Y solo por esa razón, no puede predecir "inundaciones de 100 años" solo a partir de la media y la desviación estándar; necesita la distribución real.
@MSalters: BS refleja las matemáticas de una curva de campana. No estoy seguro de entender tu punto aquí.
@JoeTaxpayer: El segundo párrafo dice que "también se aplica a BS", lo que implica que el primer párrafo no es específico de BS. Pero, ¿de dónde viene, si no de BS, la suposición de una curva de campana en el primer párrafo?
No. El segundo párrafo fluye del primero. No estoy seguro de dónde hay alguna ambigüedad. Los rendimientos de S&P no hacen curvas de campana bonitas. La ecuación de BS se basa en la campana. No hay mucho más que decir, tres años después.

Sí, su comprensión es correcta. Estrictamente hablando, el modelo Black-Scholes se utiliza para cotizar opciones europeas. Sin embargo, el pago (precio) de las opciones europeas y americanas es lo suficientemente cercano y puede usarse como una aproximación si no se pagan dividendos sobre el subyacente y el costo de liquidez es cercano a cero (por ejemplo, en un escenario de tasa de interés muy baja).

A partir de ahora, no existen métodos de forma cerrada para fijar el precio de las opciones americanas. Al menos ninguno que yo sepa. Debe confiar en los entramados para la fijación de precios binomiales de varios períodos , que en su mayoría son recursivos.

Como no hay ninguna ventaja en ejercer la opción de compra estadounidense antes, podemos usar la fórmula de Black Schole para evaluar la opción. Sin embargo, es más probable que la opción de venta estadounidense se ejerza antes, lo que significa que Black Schole no se aplica a este estilo de opción.

¿Se aplica el modelo Black-Scholes a las opciones de estilo americano?
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