S-operador lorentz invariancia

Question

S-operador lorentz invariancia

Física
teoría de la matriz s
lorentz-simetría
poincaré-simetría
teoría cuántica de campos

andres macaddams

como mostrar eso $\hat {S}$ -el operador debe ser un operador invariante de lorentz?

| Ψ (t) ⟩ = \hat{S} | Ψ (0) ⟩, \hat{S} = \hat{T} {mi}^{- i \int {\hat{H}}_{I} d^{4} X} .

$|\Psi (t)\rangle = \hat {S} | \Psi (0) \rangle , \quad \hat {S} = \hat {T}e^{-i\int \hat {H}_{I}d^{4}x}.$ He leído que este resultado se deriva de la unitaridad del operador del grupo de Poincaré

U_{0} (Λ, a)

$U_{0}(\Lambda , a)$ y la covarianza de la matriz S

S_{o u t, i n} = ⟨ o u t | \hat{S} | i n ⟩

$S_{out, in} = \langle out| \hat {S}|in \rangle$ , pero no entiendo cómo concluimos que de esto se sigue que

U_{0} (Λ, a) \hat{S} U_{0}^{- 1} (Λ, a) = \hat{S}

$U_{0}(\Lambda , a)\hat {S}U^{-1}_{0}(\Lambda , a) = \hat {S}$ .

No me interesa la derivación de la invariancia de Lorentz del operador S del principio de causalidad en este momento.

Respuestas (1)

S-operador lorentz invariancia

Valter Moretti · Answer 1

De hecho, sin asumirlo desde los primeros principios como en la formulación de Bogoliubov, la propiedad de invariancia de $S$ El operador que mencionas se mantiene cuando la interacción Lagrangiana no incluye derivados de campos como en QED. Esa es una consecuencia de la expansión de Dyson en la imagen de interacción. Cuando, como se dijo anteriormente, la interacción Lagrangiana no incluye derivadas de campos, se tiene:

H_{I} = - L_{I}

${\cal H}_I = -{\cal L}_I$ de modo que

S = \sum_{norte = 0}^{+ \infty} \frac{i^{norte}}{norte!} \int \dots \int T {\hat{L}}_{I} (X_{1}) \dots {\hat{L}}_{I} (X_{norte}) d^{4} X_{1} \dots d^{4} X_{norte} .

$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T \hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n) \:d^4x_1\cdots d^4x_n\:.$ Vale la pena notar que

{\hat{L}}_{I} (x)

$\hat{\cal L}_I(x)$ incluye solo operadores de campo libre ya que estamos tratando con la llamada imagen de interacción, por lo que todo se conoce explícitamente, las relaciones de conmutación de los operadores de campo en particular. Como las funciones lagrangianas son escalares, tenemos:

{tu}_{Λ} {\hat{L}}_{I} (X) {tu}_{Λ}^{†} = {\hat{L}}_{I} (Λ^{- 1} X) (1)

$U_\Lambda\hat{\cal L}_I(x) U^\dagger_\Lambda = \hat{\cal L}_I(\Lambda^{-1} x)\qquad (1)$ Además, en vista de las relaciones de conmutación de campos libres, también se tiene:

[{\hat{L}}_{I} (X), {\hat{L}}_{I} (y)] = 0 (2)

$[\hat{\cal L}_I(x), \hat{\cal L}_I(y)]=0 \qquad (2)$ si

x

$x$ y

y

$y$ están separados como el espacio. El hecho de que

S

$S$ es invariante bajo la acción del grupo ortocrónico de Lorentz es bastante obvio

{tu}_{Λ} S {tu}_{Λ}^{†} = \sum_{norte = 0}^{+ \infty} \frac{i^{norte}}{norte!} \int \dots \int {tu}_{Λ} T [{\hat{L}}_{I} (X_{1}) \dots {\hat{L}}_{I} (X_{norte})] {tu}_{Λ}^{†} d^{4} X_{1} \dots d^{4} X_{norte}

$U_\Lambda SU_\Lambda^\dagger = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int U_\Lambda T[ \hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n)]U_\Lambda^\dagger \:d^4x_1\cdots d^4x_n$

= \sum_{norte = 0}^{+ \infty} \frac{i^{norte}}{norte!} \int \dots \int T [{tu}_{Λ} {\hat{L}}_{I} (X_{1}) {tu}_{Λ}^{†} \dots {tu}_{Λ} {\hat{L}}_{I} (X_{norte}) {tu}_{Λ}^{†}] d^{4} X_{1} \dots d^{4} X_{norte}

$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T[U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_1)U_\Lambda^\dagger\cdots U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_n)U_\Lambda^\dagger] \:d^4x_1\cdots d^4x_n$

= \sum_{norte = 0}^{+ \infty} \frac{i^{norte}}{norte!} \int \dots \int T [{\hat{L}}_{I} (Λ^{- 1} X_{1}) \dots {\hat{L}}_{I} (Λ^{- 1} X_{norte})] d^{4} X_{1} \dots d^{4} X_{norte}

$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T[\hat{\cal L}_I(\Lambda^{-1} x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(\Lambda^{-1}x_n)] \:d^4x_1\cdots d^4x_n$

= \sum_{norte = 0}^{+ \infty} \frac{i^{norte}}{norte!} \int \dots \int T [{\hat{L}}_{I} (X_{1}) \dots {\hat{L}}_{I} (X_{norte})] d^{4} X_{1} \dots d^{4} X_{norte}

$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n}{n!} \int\cdots \int T[\hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n)] \:d^4x_1\cdots d^4x_n$ debido a la invariancia de Lorentz de la medida

d^{4} x

$d^4x$ . La identidad:

{tu}_{Λ} T [{\hat{L}}_{I} (X_{1}) \dots {\hat{L}}_{I} (X_{norte})] {tu}_{Λ}^{†} = T [{tu}_{Λ} {\hat{L}}_{I} (X_{1}) {tu}_{Λ}^{†} \dots {tu}_{Λ} {\hat{L}}_{I} (X_{norte}) {tu}_{Λ}^{†}]

$U_\Lambda T[ \hat{\cal L}_I(x_1)\cdots \hat{\cal L}_I(x_n)]U_\Lambda^\dagger= T[U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_1)U_\Lambda^\dagger\cdots U_\Lambda \hat{\cal L}_I(x_n)U_\Lambda^\dagger]$ es consecuencia de la definición de

T

$T$ -ordenador, (1) y (2) para argumentos separados en forma de espacio, considerando todos los casos relacionados con el orden temporal de

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots, x_n$ y el hecho de que

Λ

$\Lambda$ no cambia el orden temporal de los argumentos causalmente relacionados, ya que pertenece al subgrupo ortocrónico.

Para teorías más complicadas el resultado no es obvio y podría ser falso en su formulación elemental basada en cuantización canónica, excluyendo el caso de teorías gauge, donde puede demostrarse por separado.

Con respecto a la declaración de Weinberg sobre la covarianza de Lorentz de la $S$ matriz e invariancia de Lorentz de $S$ operator , si entendí bien la definición, creo que funciona así.

Comencemos con la teoría completa (interactuante). hay vectores $\Psi^\pm_{\{p_i\}}$ describiendo estados que, en tiempo tardío (respectivamente $t\to +\infty$ y $t\to -\infty$ ) evolucionan como estados de partículas libres con momentos $\{p_i\}$ . Los estados libres correspondientemente asociados, siempre evolucionando de acuerdo con la teoría libre , están indicados por $\Phi_{\{p_i\}}$ . El $S$ -matriz es la matriz de elementos:

⟨ Ψ_{{q_{i}}}^{+} | Ψ_{{{pag}_{i}}}^{-} ⟩ = ⟨ Φ_{{q_{i}}} | S Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩ . (3)

$\langle \Psi^+_{\{q_i\}}|\Psi^-_{\{p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:.\qquad(3)$ En el RHS el

S

$S$ tiene lugar el operador. En vista de ello, el proceso de dispersión se describe completamente en términos de estados libres.

Decir que el $S$ la matriz es la covariante de Lorentz debería significar (hasta donde yo entiendo):

⟨ Ψ_{{Λ q_{i}}}^{+} | Ψ_{{Λ {pag}_{i}}}^{-} ⟩ = ⟨ Ψ_{{q_{i}}}^{+} | Ψ_{{{pag}_{i}}}^{-} ⟩ \forall Λ \in O (3, 1) ↑, \forall {Λ q_{i}}, {Λ {pag}_{i}} .

$\langle \Psi^+_{\{\Lambda q_i\}}|\Psi^-_{\{\Lambda p_i\}}\rangle = \langle \Psi^+_{\{q_i\}}|\Psi^-_{\{p_i\}}\rangle\quad \forall \Lambda \in O(3,1)\uparrow\:, \forall \{\Lambda q_i\}\:, \{\Lambda p_i\}\:.$ De (3), inmediatamente implica:

⟨ Φ_{{Λ q_{i}}} | S Φ_{{Λ {pag}_{i}}} ⟩ = ⟨ Φ_{{q_{i}}} | S Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩ . (4)

$\langle \Phi_{\{\Lambda q_i\}}|S\Phi_{\{\Lambda p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:.\qquad(4)$ Si

U_{Λ}

$U_\Lambda$ es la representación unitaria de

O (3, 1) ↑

$O(3,1)\uparrow$ en estados libres, de modo que

Φ_{{Λ p_{i}}} = U_{Λ} Φ_{{p_{i}}}

$\Phi_{\{\Lambda p_i\}}= U_\Lambda \Phi_{\{p_i\}}$ , por lo tanto tenemos:

⟨ {tu}_{Λ} Φ_{{q_{i}}} | S {tu}_{Λ} Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩ = ⟨ Φ_{{q_{i}}} | S Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩,

$\langle U_\Lambda \Phi_{\{ q_i\}}|S U_\Lambda\Phi_{\{p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:,$ eso es

⟨ Φ_{{q_{i}}} | {tu}_{Λ}^{†} S {tu}_{Λ} Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩ = ⟨ Φ_{{q_{i}}} | S Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩,

$\langle \Phi_{\{ q_i\}}|U^\dagger_\Lambda S U_\Lambda\Phi_{\{p_i\}}\rangle = \langle \Phi_{\{q_i\}}|S\Phi_{\{p_i\}}\rangle\:,$ y entonces:

⟨ Φ_{{q_{i}}} | ({tu}_{Λ}^{†} S {tu}_{Λ} - S) Φ_{{{pag}_{i}}} ⟩ = 0,

$\langle \Phi_{\{ q_i\}}| \left( U^\dagger_\Lambda S U_\Lambda - S\right) \Phi_{\{p_i\}}\rangle = 0\:,$ Dado que el conjunto de vectores

Φ_{{p_{i}}}

$\Phi_{\{p_i\}}$ forma una base del espacio de Hilbert (de la teoría libre) en vista de las hipótesis de completitud asintótica , concluimos que:

{tu}_{Λ}^{†} S {tu}_{Λ} - S = 0

$U^\dagger_\Lambda S U_\Lambda - S=0$ es decir

S = {tu}_{Λ} S {tu}_{Λ}^{†}, \forall Λ \in O (3, 1) ↑ .

$S=U_\Lambda S U^\dagger_\Lambda\:, \quad \forall \Lambda \in O(3,1)\uparrow\:.$ En otras palabras si el

S

$S$ matriz es covariante de Lorentz , entonces la

S

$S$ El operador es invariante de Lorentz .

Para mí no es obvio ya que la operación de ordenamiento cronológico de dos puntos es invariante de poincaré solo si los puntos se dividen por el intervalo temporal o lumínico (hablamos de subgrupos ortocrónicos).
En los casos restantes los lagrangianos conmutan de modo que $T$ puede ser omitido...
sí, deben conmutar si el operador S debe ser el operador invariante de lorentz. Pero una parte de mi pregunta era sobre cómo concluimos que es invariante de Lorentz del hecho de la covarianza de Poincaré de la matriz s. ¿Puedes explicarlo, por favor?
No, no hay bucle lógico, ya que en la imagen de interacción conmutan solo en vista de las relaciones de conmutación de campo libre, y el hecho de que ${\cal L}_I$ es un escalar.
Lo siento, no leí bien esa parte de tu pregunta. No entiendo qué debería significar 'covarianza' de la matriz S aquí ...
Estas declaraciones están representadas en QFT de Weinberg. Tal vez, los he distorsionado un poco. Weinberg presenta por primera vez s-matrix como $S_{β α} = ⟨ Ψ_{β}^{-} | Ψ_{α}^{+} ⟩,$ $S_{\beta \alpha} = \langle \Psi^{-}_{\beta}|\Psi^{+}_{\alpha} \rangle ,$ dónde $\Psi^{\pm }$ referirse a las funciones propias del hamiltoniano completo.
Esta expresión es covariante de Poincaré, es decir, podemos expandir los vectores izquierdo y derecho en definición en base a Fock. Luego, Weinberg dice que para simplificar el análisis de la covarianza de Poincaré de la matriz S, podemos representarlo en una forma $S_{β α} = ⟨ Ψ_{β} | \hat{S} | Ψ_{α} ⟩,$ $S_{\beta \alpha} = \langle \Psi_{\beta}|\hat {S}| \Psi_{\alpha} \rangle ,$ dónde $\Psi_{\beta}, \Psi_{\beta}$ son los estados propios del hamiltoniano libre. Esta expresión es covariante de Poincaré si y sólo si $\hat {S}$ es el escalar de Poincaré.
Pero de todos modos, tengo la siguiente pregunta de acuerdo con su respuesta: ¿por qué debemos suponer que los lagrangianos conmutan en el caso de intervalos espaciales si no sabemos que $s$ -¿El operador debe ser invariante de Lorentz?
No entiendo bien la noción de covarianza de Weinberg aquí. Con respecto a su última pregunta, solo la teoría del campo libre es suficiente. Construir un campo escalar ${\cal L}_I$ utilizando campos libres elementales de cualquier espín. Los campos libres conmutan o anticonmutan para una separación espacial. Sin embargo, desde ${\cal L}_I$ es un escalar, los fermiones deben combinarse en corrientes para construirlo y finalmente surgen relaciones de conmutación para campos compuestos...
Por lo general, concluimos que los campos libres conmutan por puntos separados similares al espacio cuando analizamos el principio de causalidad o cuando sabemos que el operador s debe ser invariante de Lorentz. Para S-operator estas formas son independientes. Entonces, primero quiero saber por qué el operador S es invariante de Lorentz sin el principio de causalidad. Después de eso también puedo concluir que los campos deben conmutar por intervalos similares al espacio.
Bueno, en este caso no es necesario usar ninguna propiedad de $S$ ya que solo aparecen campos libres dentro de la expansión de Dyson (como se trata de la imagen de interacción). Las propiedades causales de los campos libres están completamente abarcadas por sus propagadores causales (soluciones fundamentales avanzadas menos retardadas) que se conocen antes de la teoría de la dispersión.

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