Conservación del impulso en el proceso de dispersión.

La respuesta de "dos palabras" es que el$S$-matriz es covariante de Poincaré. La covarianza de Poincaré en particular requiere (independientemente del número de partículas en los estados inicial y final, así como de los detalles de la teoría) la proporcionalidad de la$S$-matriz a la función delta$\delta(p_{1}+...+p_{n}-p_{1'}-...-p_{n'})$, dónde$\{p_{i}\}$son los momentos de las partículas en estado inicial y$\{p_{i'}\}$son momentos de partículas de estado final. Esto se puede entender cualitativamente teniendo en cuenta que el subgrupo del grupo de Poincaré, el grupo de traducción, conduce a la conservación del tensor de tensión-energía, que en particular requiere la conservación de 4 impulsos. Es por eso que para cualquier amplitud dentro del enfoque del diagrama de Feynman usamos la función delta.

El texto a continuación solo contiene la derivación de esta declaración.

Supongamos que la matriz S:

$$\tag 1 S_{\alpha \beta} = \langle \alpha, \text{out}|\beta, \text{in}\rangle$$ El QFT que mencionó en la pregunta se basa en la simetría de Poincare. En particular, esto significa que necesitamos postular que en el espacio de cualquier estado $|\alpha, \text{out}\rangle$y $|\beta,\text{in}\rangle$se realiza la transformación unitaria del grupo de Poincaré equivalente a una representación en el espacio de Fock. Esto significa en particular que (y lo mismo para $|\beta,\text{out}\rangle$) $$\tag 2 |\alpha,\text{in}\rangle = |\mathbf p_{1},\sigma_{1},...,\mathbf p_{n},\sigma_{n}\rangle,$$ dónde $\{p_{i}, \sigma_{i}\}$define el estado de una partícula con 4 impulsos dados $p_{i}$correspondiente a una órbita fija de energía-momento (digamos, partículas masivas o sin masa) y helicidad $\sigma_{i}$(asumiendo que la partícula tiene espín $s_{i}$). La ley de transformación del grupo de Poincaré para el estado $(2)$es $$\tag 3 |\alpha,\text{out}\rangle \to \sqrt{\frac{(\Lambda p_{1})^{0}}{p_{1}^{0}}...\frac{(\Lambda p_{n})^{0}}{p_{n}^{0}}}e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(p_{1}+...p_{n})^{\nu}}\times$$ $$\times \sum_{\tilde{\sigma}_{1},\tilde{\sigma}_{2},...}D_{\tilde{\sigma}_{1}\tilde\sigma_{1}}^{s_{1}}...D_{\tilde{\sigma}_{n}\sigma_{n}}^{s_{n}}|(\Lambda p_{1}),\tilde{\sigma}_{1},...,(\Lambda p_{n}),\tilde{\sigma}_{n}\rangle$$ Aquí $a_{\mu}$y $\Lambda_{\mu}^{\ \nu}$se definen a través de la transformación del grupo de Poincaré que actúa sobre el vector arbitrario de 4 $x_{\mu}$, $$\tag 4 x_{\mu} \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}x_{\nu} + a_{\mu},$$ y $D_{\sigma'\sigma}$es la transformación unitaria del grupo de Lorentz correspondiente a la órbita fija del cuadrivector. Lo mismo es cierto para $|\beta,\text{in}\rangle$.

Desde la transformación$(3)$es unitario, esto quiere decir que$S$-matriz$(1)$es covariante, es decir,

$$S_{\alpha\beta} \to S_{\alpha\beta}'= S_{\alpha\beta}$$ en particular para la transformación $(4)$correspondiente a $\Lambda = \mathbf{1}$y arbitrario $a_{\mu}$Se obtiene $$S_{\alpha\beta}' = e^{ia_{\mu}(p_{1}+p_{2}+...p_{n}-p_{1'}-p_{2'}-...-p_{n'})}S_{\alpha\beta} = S_{\alpha\beta}$$ Para dispersión no trivial, esta igualdad requiere cero $S_{\alpha\beta}$a menos que $$p_{1}+p_{2}+...+p_{n}-p_{1'}-p_{2'}-...-p_{n'} = 0$$ Pero esto no significa nada más que la proporcionalidad de la $S$-matriz $S_{\alpha \beta}$a la función delta $\delta(p_{1}+...p_{n}-p_{1}'-...-p_{n}')$, $$S_{\alpha\beta} \equiv T_{\alpha\beta}\delta(p_{1}+...+p_{n} - p_{1'}-...-p_{n'})$$

PD Puede encontrar más información sobre la covarianza de Poincaré de la$S$-matriz (así como la derivación dada anteriormente) en QFT de Weinberg, vol. 1. También creo que la derivación similar a esta se puede encontrar en el libro de Schwartz.