¿Cómo llegar a la Ecuación de Dirac desde el Álgebra de Poincaré?

En primer lugar, nótese que sobre el espacio de estados físicos de Hilbert se realizan las representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, precisamente, las representaciones "hasta el signo". Esto se puede incorporar automáticamente ampliando el grupo Poincaré hasta su grupo de recubrimiento universal, que es$ISL(2,C)$.

Aquí está la declaración general que es el punto: representaciones de una partícula del$ISL(2,C)$con masa distinta de cero$m$y un giro$s$son realizados por los tensores de espinor$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}, \ \frac{m+n}{2}=s$satisfaciendo las ecuaciones

$$\tag 1 \begin{cases}(\partial^{2}+m^{2})\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}} = 0, \\ \partial^{a\dot{b}}\psi_{aa_{1}...a_{n-1}\dot{b}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m-1}}= 0, \quad \partial^{a\dot{b}} \equiv \partial^{\mu}\sigma_{\mu}^{a\dot{b}}, \ \ \text{for } A,B> 1 \end{cases}$$ Como recordatorio, los índices sin puntos corresponden a los $SL(2,C)$grupo (que es el grupo de cobertura universal para el grupo Lorentz $SO(3,1)_{\uparrow}$) transformación $N$, mientras que los índices punteados corresponden a la transformación compleja conjugada $N^{*}$. Finalmente, $\sigma_{\mu} \equiv (1, \sigma)$, con $\sigma$siendo las tres matrices de Pauli.

Usted debe entender$(1)$como las ecuaciones que definen$\psi$como la función correspondiente a la representación en la que se encuentran dos operadores de Casimiro del grupo de Poincaré$\hat{P}^{2}$(traslación/4-momento al cuadrado) y$\hat{W}^{2}$(Pauli-Lubanski al cuadrado) tienen los valores$m^{2}$y$-m^{2}s(s+1)$correspondientemente Esto se puede demostrar expresando estas invariantes de Casimiro en términos de los objetos tensores espinores.

Denotemos el tensor$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$por la representación$\left( \frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)$de El$SL(2,C)$grupo al que corresponde. Para el medio de giro, de las afirmaciones anteriores tenemos que ambas representaciones$\left( \frac{1}{2},0\right)$y$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$son validos; están dados por los espinores de dos componentes. Pero las ecuaciones correspondientes, que son simplemente las ecuaciones de Klein-Gordon, están lejos de la ecuación de Dirac... Entonces, ¿cuál es el otro punto?

De hecho, tampoco$\left( \frac{1}{2}, 0\right)$ni$\left(0,\frac{1}{2} \right)$describe la teoría que es invariante bajo$P-,T-,C-$simetrías discretas por separado; de esto en particular se sigue que es imposible construir la teoría de interacción EM de estas representaciones con la ley de interacción estática coincidente con la ley de Coulomb.

Para obtener la teoría invariante, necesitamos tomar la suma directa

$$\tag 2 \left( \frac{1}{2},0\right) \oplus \left( 0,\frac{1}{2}\right)$$ de estas representaciones.

Pero esta suma directa, por supuesto, no es una representación irreductible. Para hacerlo irreductible (y simultáneamente$P-,T-,C-$invariante), necesitamos construir un poincare- y$P-,T-,C-$operador covariante que asigna la representación irreducible al actuar sobre la suma directa$(2)$. No es difícil construir dicho operador (suponiendo que pueda derivar$(1)$), y resulta que coincide con el operador de la ecuación de Dirac.

Una historia similar es cierta cuando consideramos fotones y gravitones. De hecho, las representaciones sin masa del grupo de Poincaré se caracterizan por el valor de helicidad, que es el operador$\hat{h} = \frac{\hat{\mathbf{W}}\cdot \hat{\mathbf P}}{|\hat{\mathbf P}|}$valor, y físicamente es la proyección del momento angular total en la dirección del movimiento. Nuevamente, las representaciones con valores separados de helicidad (digamos, 1 o -1) no son$P-,T-,C-$invariante. Para tener una teoría invariante, es necesario nuevamente tomar la suma directa, pero ahora sin proyectores. En el caso de los fotones llegaremos a las ecuaciones de Maxwell sobre el tensor de fuerza$F_{\mu\nu}$, mientras que en el caso de los gravitones llegaremos a ecuaciones sobre el tensor de Weyl linealizado de relatividad general libre de fuente.