¿Por qué se dice que un VEV distinto de cero para un campo de espinor rompe la invariancia de Lorentz?

Considere un campo espinoso ψ ( X ) . Su valor esperado de vacío está dado por

v = ⟨ 0 | ψ ( X ) | 0 ⟩ .
Usando el hecho de que el vacío es invariante bajo la transformación de Lorentz, obtenemos,
v = ⟨ 0 | ψ ( 0 ) | 0 ⟩ .
¿Por qué, si v ≠ 0 , se rompe la invariancia de Lorentz?

Respuestas (2)

El v escribes es en sí mismo un espinor , no un escalar. Un espinor distinto de cero obviamente no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, por lo que un VEV espinorial distinto de cero rompe la invariancia de Lorentz de la función de 1 punto.

@ACM Pero son funciones de 1 punto relacionadas con medibles. ¿Bien? La fórmula de reducción LSZ no contiene una función de 1 punto (pero norte -funciones puntuales en general con norte > 1 ) y, por lo tanto, no está relacionado con la amplitud de dispersión. ¿Me equivoco? Entonces, si las funciones de 1 punto no son medibles, ¿debería importarnos?
@SRS la derivación de la fórmula LSZ asume explícitamente que v ≡ 0 .
@AccidentalFourierTransform Hmmm. Pero si las funciones de 1 punto son no invariantes de Lorentz, ¿cómo hace que (las predicciones de) la teoría sean problemáticas?
@SRS porque si v no es invariante entonces tu ( Λ ) no puede existir (como en mi respuesta a continuación), lo que significa que las transformaciones de Lorentz no son una simetría de la teoría (y, en particular, de la S matriz).

Para hacer el argumento de ACM más explícito, considere

v = ⟨ 0 | ψ | 0 ⟩ = ⟨ 0 | tu tu † ⏞ 1 ψ tu tu † ⏞ 1 | 0 ⟩ = ⟨ 0 | tu ⏞ ⟨ 0 | tu † ψ tu ⏞ D Λ ψ tu † | 0 ⟩ ⏞ | 0 ⟩ = D Λ v
dónde tu = tu ( Λ ) es el operador unitario que corresponde a las transformaciones de Lorentz en el espacio de Hilbert, y D Λ su representación en el espacio de espinores.

Considerando Λ ser, digamos, una rotación alrededor del z eje con ángulo θ , y expandiéndose a primer orden en θ , obtenemos

S z v = 0
lo cual es imposible para las representaciones del Grupo de Lorentz con espín medio entero, como S z tiene valores propios
− j , − j + 1 , ⋯ , + j
ninguno de los cuales es cero.

Por lo tanto, debemos concluir que tu ( Λ ) no existe, es decir, se rompe la simetría de Lorentz.

Pero como haces eso S z v = 0 ? No veo la expansión a 1er orden para probar esto
@Vicky D Λ = mi i θ S z , por lo que se expande D Λ v = v a primer orden en θ obtenemos S z v = 0 .
¿Por qué se dice que un VEV distinto de cero para un campo de espinor rompe la invariancia de Lorentz?
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