Rotaciones de estado de espín y rotaciones de espinores

Question

Rotaciones de estado de espín y rotaciones de espinores

simobartz

He intentado hacer los cálculos para derivar las matrices SU(2) que rotan los espinores a partir de la rotación de los autoestados de espín. El siguiente es el procedimiento que seguí pero al final no encontré el $SU(2)$ matriz que esperaba. De todos modos, no entiendo por qué esta idea debería ser incorrecta, así que me gustaría que me diera algunas ideas al respecto.

El operador de espín en la dirección del vector unitario $\vec n$ es

\hat{\vec{σ}} \cdot \vec{norte} = ℏ / 2 [\begin{matrix} {norte}_{z} & {norte}_{X} - i {norte}_{y} \\ {norte}_{X} + i {norte}_{y} & - {norte}_{z} \end{matrix}]

$\hat {\vec \sigma} \cdot \vec n=\hbar/2 \begin{bmatrix} n_z & n_x-in_y\\ n_x+in_y & -n_z \end{bmatrix}$ Haciendo algunos cálculos encontré que el estado propio con valor propio

ℏ / 2

$\hbar/2$ de este operador es

{mi}^{i ϕ} \sqrt{\frac{1 - {norte}_{z}}{2}} [\begin{matrix} \frac{- {norte}_{X} + i {norte}_{y}}{{norte}_{z} - 1} \\ 1 \end{matrix}]

$e^{i\phi}\sqrt {\frac {1-n_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n_x+in_y}{n_z-1}\\ 1\end{bmatrix}$ a excepción del caso

n_{z} = 1

$n_z=1$ en ese caso es

e^{i ϕ} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]

$e^{i\phi} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ dónde

ϕ

$\phi$ puede ser cada valor real

Ahora, si giro el vector unitario $\vec n$ de un ángulo $\Delta\theta$ alrededor del eje z cambiará de esta manera

[\begin{matrix} {norte}_{X}^{'} \\ {norte}_{y}^{'} \\ {norte}_{z}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C o s Δ θ & s mi norte Δ θ & 0 \\ - s mi norte Δ θ & C o s Δ θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {norte}_{X} \\ {norte}_{y} \\ {norte}_{z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}n'_x\\n'_y\\n'_z\end{bmatrix}=\begin {bmatrix} cos\Delta\theta & sen\Delta\theta & 0\\-sen\Delta\theta & cos\Delta\theta & 0\\0 &0&\ 1 \end {bmatrix} \begin{bmatrix}n_x\\n_y\\n_z\end{bmatrix}$ por lo tanto, el estado de giro cambiará de esta manera

{mi}^{i ϕ} \sqrt{\frac{1 - {norte}_{z}^{'}}{2}} [\begin{matrix} \frac{- {norte}_{X}^{'} + i {norte}_{y}^{'}}{{norte}_{z}^{'} - 1} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} C o s Δ θ + i s mi norte Δ θ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] {mi}^{i ϕ} \sqrt{\frac{1 - {norte}_{z}}{2}} [\begin{matrix} \frac{- {norte}_{X} + i {norte}_{y}}{{norte}_{z} - 1} \\ 1 \end{matrix}]

$e^{i\phi}\sqrt {\frac {1-n'_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n'_x+in'_y}{n'_z-1}\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\Delta\theta+isen\Delta\theta & 0 \\ 0&1\end{bmatrix}e^{i\phi}\sqrt {\frac {1-n_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n_x+in_y}{n_z-1}\\ 1\end{bmatrix}$ entonces la matriz

[\begin{matrix} C o s Δ θ + i s mi norte Δ θ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} cos\Delta\theta+isen\Delta\theta & 0 \\ 0&1\end{bmatrix}$ es la matriz que rota el estado de espín cuando se rota el sistema. Esta matriz no es la que gira los espinores alrededor del eje z y esto me confunde, ¿me equivoqué con los cálculos o la idea es incorrecta?

ACTUALIZAR

Me di cuenta de que la matriz que encontré difiere de la matriz que transforma el espinor solo por una fase.

[\begin{matrix} C o s Δ θ + i s mi norte Δ θ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = {mi}^{i Δ θ / 2} [\begin{matrix} {mi}^{i Δ θ / 2} & 0 \\ 0 & {mi}^{- i Δ θ / 2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} cos\Delta\theta+isen\Delta\theta & 0 \\ 0&1\end{bmatrix}=e^{i\Delta\theta/2} \begin{bmatrix}e^{i\Delta\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\Delta\theta/2}\end{bmatrix}$ Entonces, dado que es posible elegir la forma del estado propio hasta una fase, puedo elegir esto:

{mi}^{i ϕ} {mi}^{i θ / 2} \sqrt{\frac{1 - {norte}_{z}}{2}} [\begin{matrix} \frac{- {norte}_{X} + i {norte}_{y}}{{norte}_{z} - 1} \\ 1 \end{matrix}]

$e^{i\phi}e^{i\theta/2}\sqrt {\frac {1-n_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n_x+in_y}{n_z-1}\\ 1\end{bmatrix}$ dónde

θ = f (n_{x}, n_{y})

$\theta=f(n_x,n_y)$ . En este caso la matriz que transforma el estado propio es la de

S U (2)

$SU(2)$

[\begin{matrix} {mi}^{i Δ θ / 2} & 0 \\ 0 & {mi}^{- i Δ θ / 2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}e^{i\Delta\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\Delta\theta/2}\end{bmatrix}$ Pero, ¿por qué deberíamos usar exactamente esta opción de fase? ¿Qué tiene de especial esta elección?

Respuestas (1)

Rotaciones de estado de espín y rotaciones de espinores

ChoMedit · Answer 1

Asumiré que se trata del caso. $s = 1/2$ . (Es totalmente igual para el caso de giro más alto).

podemos asumir $\hat{n} = \hat{z}$ en general y gírelo para $\hat{n}'= \sin \theta \cos \phi \hat{x} + \sin \theta \sin \phi \hat{y} + \cos \theta \hat{z}$

Entonces, el producto interno del operador de espinor y $\hat{n}'$ será

\hat{\vec{σ}} \cdot {\hat{norte}}^{'} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} porque θ & pecado θ Exp [- i ϕ] \\ pecado θ Exp [i ϕ] & - porque θ \end{matrix})

$\hat{\vec{\sigma}} \cdot \hat{n}' = \dfrac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin\theta \exp[-i \phi]\\ \sin \theta \exp[i \phi] & -\cos \theta \end{pmatrix}$

Entonces, el eigenspinor para $\hbar/2$ se da como

(\begin{matrix} Exp [- i ϕ / 2] porque [θ / 2] \\ Exp [i ϕ / 2] pecado [θ / 2] \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \exp[-i\phi/2] \cos[\theta/2]\\ \exp[i\phi/2]\sin[\theta/2] \end{pmatrix}$ y podemos obtener un resultado para eigenspinor de

- ℏ / 2

$-\hbar/2$ fácilmente como sigue,

(\begin{matrix} - Exp [- i ϕ / 2] pecado [θ / 2] \\ Exp [i ϕ / 2] porque [θ / 2] \end{matrix})

$\begin{pmatrix} -\exp[-i\phi/2]\sin[\theta/2]\\ \exp[i\phi/2]\cos[\theta/2] \end{pmatrix}$

La matriz transformada de los valores propios es entonces, como se esperaba, un elemento de $\mathrm{SU}(2)$ . Llamemos a esto $H \in \mathrm{SU}(2)$ .

$H$ se dará como

H = (\begin{matrix} Exp [- i ϕ / 2] porque [θ / 2] & - Exp [- i ϕ / 2] pecado [θ / 2] \\ Exp [i ϕ / 2] pecado [θ / 2] & Exp [i ϕ / 2] porque [θ / 2] \end{matrix})

$H = \begin{pmatrix} \exp[-i\phi/2] \cos[\theta/2] & -\exp[-i\phi/2]\sin[\theta/2]\\ \exp[i\phi/2] \sin[\theta/2] & \exp[i \phi/2] \cos[\theta/2] \end{pmatrix}$

¿Por qué podemos obtener esto? Porque siempre podemos encontrar un $\mathrm{SU}(2)$ -representación de $\hat{\vec{\sigma}}$ y $\mathrm{SO(3)}$ -la transformación se interpreta correctamente como $\mathrm{SU}(2)$ -acción ya en el procedimiento de $\hat{\vec{\sigma}}\cdot \hat{n}$ a $\hat{\vec{\sigma}}\cdot{\hat{n}'}$ .

\hat{\vec{σ}} \cdot \hat{norte} = H^{- 1} \hat{\vec{σ}} \cdot {\hat{norte}}^{'} H

$\hat{\vec{\sigma}}\cdot \hat{n} = H^{-1} \hat{\vec{\sigma}}\cdot{\hat{n}'} H$

En un nivel abstracto, esto es posible porque $\mathrm{SO}(3)$ y $\mathrm{SU}(2)$ tiene la misma estructura local por lo que tienen una correspondencia específica y comparten un generador pero en su propio idioma.

Estoy de acuerdo con tus cálculos pero no fue exactamente lo que quise decir, actualizo la publicación incluyendo mis cálculos. El resultado parece diferente pero no entiendo por qué
@SimoBartz La matriz de transformación del sistema debería transformar todo el eigenspinor. Su resultado no cambia otro eigenspinor de $-\hbar/{2}$ .
@SimoBartz y además, la correspondencia entre $\mathrm{SU}(2)$ y $\mathrm{SO}(3)$ no es realmente trivial en el sentido común! No podemos interpretar el elemento de $\mathrm{SU}(2)$ directamente en nuestro sentido real-geométrico. Pido disculpas si no entiendo bien su pregunta.
En tu solución dices que $\begin{bmatrix} \exp[-i\phi/2] \cos[\theta/2]\\ \exp[i \phi/2] \sin[\theta/2] \end{bmatrix}$ es el eigenspinor pero en realidad si multiplico este espinor por una fase sigue siendo un eigenspinor, en particular este es como el que escribí arriba $\begin{pmatrix} \exp[-i\phi] \cos[\theta/2]\\ \ \sin[\theta/2] \end{pmatrix}$ . Tu demostración funciona solo con esa fase que elegiste, ¿hay alguna razón para elegirla?
@SimoBartz Estoy de acuerdo en que su elección es más común. Simplemente elegí el factor de fase porque parece un poco más simétrico. Pero creo que tu elección es mejor. Ayuda a ver cómo se relaciona con el generador infinitesimal de $\mathrm{SU}(2)$
Consideré útil tu respuesta, pero no creo que resuelva mi duda porque el $SU(2)$ Las matrices provienen de una elección particular del factor de fase, y no entiendo por qué esa elección es especial. Actualizo el post para que ahora quede más claro
@SimoBartz De todos modos, encontré este artículo, arxiv.org/pdf/1312.3824.pdf . Explica por qué elegimos bien este tipo de matriz en el sentido del grupo de Lie.
@SimoBartz Creo que la elección del factor de fase no afecta el sistema, por lo que tengo libertad de factor de fase. Usando esto, elijo un factor de fase para hacer tal forma de $\exp[-i \phi/2 \sigma_z]\exp[i \theta/2 \sigma_y]$ . Creo que es una forma más natural de pensar, porque spinor $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ es un generador infinitesimal de $\mathrm{SU}(2)$ !
Mi flujo lógico se origina a partir del álgebra de espinor y que tiene el álgebra de Lie de $\mathrm{SU}(2)$ como su representación irreductible. (Lamento usar $\mathrm{SU}(2)$ y el álgebra de espinor en abuso. Son cosas diferentes. Pero la primera es la representación irreducible (¿o realización física?) del álgebra espinora que es una abstracción del generador infinitesimal de rotación.)

Rotaciones de estado de espín y rotaciones de espinores

simobartz

Respuestas (1)

ChoMedit

simobartz

ChoMedit

ChoMedit

simobartz

ChoMedit

simobartz

ChoMedit

ChoMedit

ChoMedit

Estados de triplete, estados de Dicke y estados simétricos de spin-1

Representación de suma directa de múltiples partículas en mecánica cuántica

El significado físico (clásico) de la representación del espinor de un electrón

¿Los giros tienen direcciones espaciales?

¿Por qué los generadores SU(2)SU(2)SU(2) se interpretan como componentes espaciales del espín?

¿Se considera que la matriz de rotación de espín 1/2 es en sentido contrario a las agujas del reloj?

¿Por qué los sistemas de dos electrones generalmente se describen en base a triplete-singlete?

Giros paralelos / antiparalelos para dos electrones no apareados

¿Por qué surge el espín en la mecánica cuántica no relativista?

¿Cómo interpretar los observables de giro construidos por elecciones de fase no estándar?