¿Los giros tienen direcciones espaciales?

Question

¿Los giros tienen direcciones espaciales?

Javier

Cuando consideramos una partícula de espín-1/2 e intentamos escribir su función de onda, tenemos

| ψ ⟩ = a | + ⟩ + b | - ⟩,

$|\psi\rangle = a|+\rangle + b|-\rangle,$ donde en una referencia sobre el sistema de dos niveles, el autor escribió

Considere un giro que apunta en el tiempo igual a cero a lo largo de la dirección especificada por los ángulos $(\theta_0,\phi_0)$

$| Φ, 0 ⟩ = C o s \frac{θ_{0}}{2} | + ⟩ + s i norte \frac{θ_{0}}{2} {mi}^{i ϕ_{0}} | - ⟩$ $|\Phi,0\rangle\,=\,cos\frac {\theta_0} 2\, |+\rangle\, +\, sin \frac {\theta_0} 2 \,e^{i\phi_0}|-\rangle$

¿Debo interpretar esta dirección como la dirección en el espacio tridimensional real? Si es así, ¿cómo se escribe (2.12) si sé que el giro apunta a lo largo de un vector definido por $(\theta_0,\phi_0)$ ? No sé cómo imaginar esta imagen en mi cabeza (o dibujarla...), ya que los dos estados $|+\rangle$ y $|-\rangle$ están en un espacio de Hilbert abstracto que no tiene nada que ver con la dirección espacial real.

La cita es de https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/MIT8_05F13_Chap_07.pdf

Conde Iblis

Ver apartado 2 en página 9

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Relacionado: physics.stackexchange.com/q/1/2451 , physics.stackexchange.com/q/822/2451 y enlaces allí.

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gato giratorio · Answer 1

El tema en cuestión es bastante simple.

El estado

| ψ ⟩ = porque \frac{θ}{2} | + ⟩ + {mi}^{i ϕ} pecado \frac{θ}{2} | - ⟩

$|\psi\rangle=\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+ e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2} |-\rangle$ de un spin-1/2 se puede interpretar de la siguiente manera (tenga en cuenta que escribí

θ / 2

$\theta/2$ en lugar de

θ

$\theta$ porque, como verás, de esa manera

θ

$\theta$ significará el ángulo real en el espacio 3D). Promediemos diferentes componentes de espín sobre este estado. Pequeño ejercicio con rendimientos de matrices de Pauli

⟨ s_{X} ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{s}}_{X} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} pecado θ porque ϕ,

$\langle s_x\rangle=\langle \psi|\hat s_x|\psi\rangle =\frac{1}{2}\sin\theta\cos\phi,$

⟨ s_{y} ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{s}}_{X} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} pecado θ pecado ϕ,

$\langle s_y\rangle=\langle \psi|\hat s_x|\psi\rangle=\frac{1}{2}\sin\theta\sin\phi,$

⟨ s_{z} ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{s}}_{z} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} porque θ .

$\langle s_z\rangle=\langle \psi|\hat s_z|\psi\rangle=\frac{1}{2}\cos\theta.$ Se puede ver que esto se parece mucho a las coordenadas polares en 3D, lo que básicamente significa que el espín promedio forma un vector 3D con una longitud de 1/2 en un espacio real. Este vector está dirigido de acuerdo con ángulos

θ

$\theta$ y

ϕ

$\phi$ , es decir, está inclinado desde el eje z por el ángulo de

θ

$\theta$ y rotado en el plano xy por

ϕ

$\phi$ desde el eje x. En otras palabras, si mide la proyección de giro en la dirección

\vec{norte} = (pecado θ porque ϕ, pecado θ pecado ϕ, porque θ),

$\vec{n}=(\sin\theta \cos\phi, \sin\theta \sin\phi,\cos \theta),$ obtendrá 1/2 valor con 100% de probabilidad. Por supuesto, además de eso, hay fluctuaciones cuánticas, que están conectadas con la no conmutatividad de las proyecciones de espín, pero esa es una historia diferente.

UPD, respuesta a la pregunta en comentarios

A partir de ahora asumiré $\hbar=1$ por el bien de la simplicidad.

No haré suposiciones sobre el valor particular del espín considerado, por lo que el espín puede ser un medio, uno, tres medios o cualquier otro valor entero o medio entero. Para tener esto en cuenta, usaré mayúscula $S$ .

Aquí presentaré una forma general de encontrar el estado que "apunta" en la dirección dada $\vec{n}$ , dónde $|\vec{n}|=1$ , comenzando desde el giro apuntando a lo largo de la dirección z (llamaré a este estado $|S_z = S\rangle$ ).

Lo principal que uno necesita saber en este punto es la siguiente declaración de la mecánica cuántica: cualquier operador de momento angular es un generador de rotaciones 3D . Esto es como el operador de cantidad de movimiento simple $\hat{p}$ es el generador de traducciones. Por ejemplo, en el caso unidimensional

Exp (- i a \hat{pag}) ψ (X) = ψ (X - a) .

$\exp{\left(- i a \hat{p}\right)}\psi(x) = \psi(x-a).$ Puede comprobar la fórmula anterior sustituyendo

\hat{p} = - i \frac{d}{d x}

$\hat{p}=-i\frac{d}{dx}$ y expandir el exponente en la serie de potencias.

De la misma manera, el exponente matricial de los operadores de espín (el exponente matricial de cualquier matriz cuadrada se define como $\exp{A}=\sum_{n=0}^\infty A^n/n!$ ) produce la rotación de su estado de giro en el espacio 3D. Formalmente, esto significa que el exponente de la matriz

R_{metro}^{α} = Exp (- i α (\vec{S} \cdot \vec{metro}))

$R_{m}^\alpha = \exp\left(-i \alpha \left(\vec{S}\cdot\vec{m}\right)\right)$ (una vez más

| \vec{m} | = 1

$|\vec{m}|=1$ ) gira el giro en la dirección

\vec{m}

$\vec{m}$ por el ángulo

α

$\alpha$ . El producto punto en el exponente es un

(2 S + 1) \times (2 S + 1)

$(2S+1)\times(2S+1)$ matriz:

\vec{S} \cdot \vec{metro} = {metro}_{X} S_{X} + {metro}_{y} S_{y} + {metro}_{z} S_{z} .

$\vec{S}\cdot \vec{m}=m_x S_x +m_y S_y+ m_z S_z.$ Creo que este conocimiento proporciona un puente entre el espacio de giro de Hilbert más abstracto y el espacio 3D más familiar. Ahora necesitamos hacer las rotaciones apropiadas para que el giro mire a lo largo de la dirección

\vec{n}

$\vec{n}$ y simplemente podemos pensar en términos de rotaciones usuales. Dejar

\vec{norte} = (porque ϕ pecado θ, pecado ϕ pecado θ, porque θ) .

$\vec{n}=(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta).$

Si partimos de $|S_z=S\rangle$ estado, primero tenemos que inclinar el giro por el ángulo $\theta$ del eje z. Para esto podemos hacer una rotación alrededor del eje y:

| S_{z} = S ⟩ \to Exp (- i θ S_{y}) | S_{z} = S ⟩

$|S_z=S\rangle \rightarrow \exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle$ Después de eso, simplemente rotamos por

ϕ

$\phi$ alrededor del eje z:

Exp (- i θ S_{y}) | S_{z} = S ⟩ \to Exp (- i ϕ S_{z}) Exp (- i θ S_{y}) | S_{z} = S ⟩ .

$\exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle \rightarrow \exp\left(-i \phi S_z\right)\exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle.$ (tenga en cuenta que

\exp (A) \exp (B) \neq \exp (A + B)

$\exp(A)\exp(B)\neq \exp(A+B)$ en general). Y básicamente eso es todo, encontramos el estado que mira en la dirección

\vec{n}

$\vec{n}$ . Denotemoslo

| ψ ⟩ = Exp (- i ϕ S_{z}) Exp (- i θ S_{y}) | S_{z} = S ⟩ .

$|\psi\rangle = \exp\left(-i \phi S_z\right)\exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle.$ En ese caso, al igual que con spin one half, se puede comprobar que:

⟨ S_{X} ⟩ = ⟨ ψ | S_{X} | ψ ⟩ = S pecado θ porque ϕ,

$\langle S_x \rangle = \langle \psi|S_x|\psi\rangle=S\sin\theta\cos\phi,$

⟨ S_{y} ⟩ = ⟨ ψ | S_{y} | ψ ⟩ = S pecado θ pecado ϕ,

$\langle S_y \rangle = \langle \psi|S_y|\psi\rangle=S\sin\theta\sin\phi,$

⟨ S_{z} ⟩ = ⟨ ψ | S_{z} | ψ ⟩ = S porque θ .

$\langle S_z \rangle = \langle \psi|S_z|\psi\rangle=S\cos\theta.$ Una vez más, midiendo el valor de la proyección de espín en la dirección

\vec{n}

$\vec{n}$ para el estado

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ dará el valor de

S

$S$ con 100% de probabilidad.

UPD 2 + corrección

Sin embargo, tenga en cuenta que, por supuesto, ningún estado de espín arbitrario puede representarse como un vector de longitud igual a $S$ y apuntando en alguna dirección fija $\vec{n}$ . Por ejemplo en el estado $|S_z=0\rangle$ de giro $S=1$ encontramos $\langle S_x\rangle=\langle S_y\rangle=\langle S_z\rangle=0$ .

Espero que esto ayude :)

Hice el pequeño ejercicio y encontré exactamente como lo describiste. Una pregunta de seguimiento que tengo es si hay algún método de construcción que uno pueda usar para pasar de tener un vector unitario arbitrario $\hat{n}$ a la expresión de $|\psi\rangle$ ? (Si estoy interesado en escribir un estado de partícula de espín-1 apuntando en el $\hat{n}$ dirección, no es sencillo para mí cómo hacerlo).
@Xavier: Publicaré una respuesta editando mi publicación anterior en un minuto.

Sr.Tiempos · Answer 2

Desde $| \pm >$ abarca el espacio de Hilbert, puede construir una superposición que apunte en el $x$ , $y$ o cualquier otra dirección. Una construcción útil para visualizar esto es la esfera de Bloch.

SAKhan · Answer 3

Las direcciones deben interpretarse en el espacio 3D. Para la imagen, imagine lo que sucederá cuando se realicen las mediciones. Pero no lo tomes como un conjunto de giros, parte de ellos apuntando totalmente hacia arriba y la otra parte apuntando totalmente hacia abajo. Eso daría una mezcla de estados que no es el suyo.

Simón · Answer 4

En el mundo real, el giro no es espacial. Sin embargo, el momento angular orbital es una cantidad que se puede describir en el espacio tridimensional (Hilbert) an. Ahora, cuando descubrimos que las partículas también tenían algo de giro interno. Los físicos buscamos una manera de describir el comportamiento de este giro interno de una partícula. De esta manera, encontramos que el giro interno podría describirse matemáticamente de la misma manera que el momento angular orbital (no relativistamente).

Por lo tanto, si queremos describir una partícula, necesitamos una función de onda que describa la parte espacial de la partícula, así como su giro interno. Para hacer esto, a menudo escribimos una función de onda como un producto (tensor) de dos funciones de onda, cada una de las cuales "vive" en un espacio de Hilbert diferente. Cuando estudiamos el espín de una partícula, a menudo nos limitamos solo al 'espacio de espín de Hilbert'. Este es el espacio en el que se describe nuestra función de onda de espín.

En el caso de una partícula de espín-1/2, este espacio de espín tiene solo 2 dimensiones y, por lo tanto, nuestra función de onda puede describirse en un espacio de Hilbert bidimensional y, de esta manera, podemos pensar que tiene "direcciones espaciales". Pero recuerda que esta es solo una forma matemática de describir el giro interno de una partícula. ¡No representa el mundo real!

El espacio de fase hamiltoniano (el espacio de estados cuánticos de Hilbert) para espín-1/2 es bidimensional, pero el espín es un momento angular y, como tal, el observable asociado con el operador cuyas funciones propias ocupan ese espacio de Hilbert es un pseudo-vector en el espacio físico. Podemos seleccionar la base del espacio de fase de modo que corresponda a las medidas a lo largo de cualquier eje dado en el espacio físico.

dmckee --- gatito ex-moderador · Answer 5

El espín es el momento angular. Su cuantización no corresponde a la de $\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ para una partícula, pero tiene todas las propiedades del momento angular, no obstante.

Como tal, el observable asociado con el espín es un pseudo-vector en el espacio físico, a pesar de que el espacio de estado del espín $s$ es un $2s+1$ -espacio dimensional (lo que significa un espacio bidimensional para spin-1/2).

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dmckee --- gatito ex-moderador

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