Cálculo del valor esperado de spin [cerrado]

Question

Cálculo del valor esperado de spin [cerrado]

tendero

Considere el espacio de estado con una base formada por los estados propios del operador $\hat{S}_z$ . para el estado $|\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle_z-\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle_z$ , cual es el valor de $\langle\hat{S}_x\rangle$ ?

No tengo absolutamente ninguna idea de cómo hacer esto. Ni siquiera entiendo muy bien la expresión de $|\phi\rangle$ sí mismo. ¿Como se puede hacer esto?

EDITAR: Gracias a la respuesta de Asaf he podido entender mejor el tema. Para simplificar, escribiré solo $|+\rangle$ en lugar de $|+\rangle_z$ y $|-\rangle$ en lugar de $|-\rangle_z$ . Así que hice lo siguiente:

⟨ ϕ | {\hat{S}}_{X} | ϕ ⟩ = (\frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ + | - \frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ - |) (\frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{S}}_{X} | + ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{S}}_{X} | - ⟩) = (\frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ + | - \frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ - |) (\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ℏ}{2} | - ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ℏ}{2} | + ⟩) = \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ + | - ⟩ - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ + | + ⟩ - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ - | - ⟩ + \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ - | + ⟩ = - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} = - \frac{ℏ}{2}

$\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle=\left(\frac{1}{\sqrt2}\langle+|-\frac{1}{\sqrt2}\langle-|\right)\left(\frac{1}{\sqrt2}\hat{S}_x|+\rangle-\frac{1}{\sqrt2}\hat{S}_x|-\rangle\right) =\left(\frac{1}{\sqrt2}\langle+|-\frac{1}{\sqrt2}\langle-|\right) \left(\frac{1}{\sqrt2}\frac{\hbar}{2}|-\rangle-\frac{1}{\sqrt2}\frac{\hbar}{2}|+\rangle\right) =\frac12\frac{\hbar}{2}\langle+|-\rangle-\frac12\frac{\hbar}{2}\langle+|+\rangle-\frac12\frac{\hbar}{2}\langle-|-\rangle+\frac12\frac{\hbar}{2}\langle-|+\rangle=-\frac12\frac{\hbar}{2}-\frac12\frac{\hbar}{2}=-\frac{\hbar}{2}$

Pero no sé si esto es correcto. Hubiera esperado que, como $|\phi\rangle$ solo tiene componentes de espín en $z$ , el giro en otro eje sería $0$ . ¿Hice algo mal en los cálculos o es correcto pero me estoy equivocando en el concepto?

WillO

Sugerencia: intente escribir

| + ⟩_{z}

$|+\rangle_z$ y

| - ⟩_{z}

$|-\rangle_z$ como combinaciones lineales de

| + ⟩_{x}

$|+\rangle_x$ y

| - ⟩_{x}

$|-\rangle_x$ .

tendero

@WillO ¿Debería usar las matrices de Pauli para cambiar la base de los vectores? No he encontrado ningún ejercicio de este tipo así que ando bastante perdido

Asaf

Tienes la respuesta correcta, ampliaré la mía para ayudarte a interpretar el resultado.

Respuestas (2)

Cálculo del valor esperado de spin [cerrado]

Sugerencia: intente escribir $|+\rangle_z$ y $|-\rangle_z$ como combinaciones lineales de $|+\rangle_x$ y $|-\rangle_x$ .
@WillO ¿Debería usar las matrices de Pauli para cambiar la base de los vectores? No he encontrado ningún ejercicio de este tipo así que ando bastante perdido
Tienes la respuesta correcta, ampliaré la mía para ayudarte a interpretar el resultado.

Asaf · Answer 1

Primero, aclaremos la expresión de $|\phi\rangle$ .

los kets $|+\rangle_z$ y $|-\rangle_z$ son vectores propios de $\hat{S}_z$ tal que

{\hat{S}}_{z} | + ⟩_{z} = + \frac{ℏ}{2} | + ⟩_{z} {\hat{S}}_{z} | - ⟩_{z} = - \frac{ℏ}{2} | - ⟩_{z}

$\hat{S}_z |+\rangle_z = +\frac{\hbar}{2}|+\rangle_z \\ \hat{S}_z |-\rangle_z = -\frac{\hbar}{2}|-\rangle_z$ Esto significa que en el

{| + ⟩_{z} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | - ⟩_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

$\{|+\rangle_z = \left(\substack{1\\0}\right),|-\rangle_z=\left(\substack{0\\1}\right)\}$ base la

{\hat{S}}_{z}

$\hat{S}_z$ tiene la representación matricial

{\hat{S}}_{z} = \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} + 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = \frac{ℏ}{2} (| + ⟩_{z} ⟨ + |_{z} - | - ⟩_{z} ⟨ - |_{z}) .

$\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cc} +1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right) = \frac{\hbar}{2}\left(|+\rangle_z\langle+|_z-|-\rangle_z\langle-|_z\right).$

Ahora el $\hat{S}_x$ tiene la siguiente representación matricial

{\hat{S}}_{X} = \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = \frac{ℏ}{2} (| + ⟩_{z} ⟨ - |_{z} + | - ⟩_{z} ⟨ + |_{z})

$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) = \frac{\hbar}{2}\left(|+\rangle_z\langle-|_z+|-\rangle_z\langle+|_z\right)$

Calcular $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ ahora puede sustituir todo y encontrarlo.

Actualizar:

Para interpretar el resultado, piénselo así: un estado propio de $\hat{S}_z$ tiene un bien definido $z$ componente del momento angular $\vec{S}$ pero no sabes los valores de los $x$ y $y$ componentes De hecho, no se puede saber porque hay un principio de incertidumbre que lo impide.

Funciona como en esta imagen. Si el estado es $|+\rangle$ , tú lo sabes $\vec{S}$ está en algún lugar del cono superior, pero no se puede saber exactamente dónde. Lo mismo ocurre con $|-\rangle$ y el cono inferior.

Ahora, si echas un vistazo verás que tu estado $|\phi\rangle$ es en realidad un vector propio del operador $\hat{S}_x$ . es de hecho el $|-\rangle_x$ estado para que pueda pensar en él como un cono que apunta en el $-x$ dirección.

Todavía no estoy familiarizado con esto de la notación de espín. ¿No se supone que los valores propios son $\frac{\hbar}{2}$ y $-\frac{\hbar}{2}$ ? ¿O estoy equivocado?
Lo siento, tienes razón. Lo estaba dejando fuera por simplicidad.
No hay problema, solo preguntaba, gracias. Otra cosa, estoy tratando de calcular $\langle+|\hat{S}_x|+\rangle$ o $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ ?
Quieres $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ . No escribí la respuesta completa aquí para que puedas resolverlo. Editaré para mayor claridad.
Editaré mi pregunta con el progreso que he hecho hasta ahora. Por favor corrígeme si ves algo mal

marty verde · Answer 2

Me pregunto por qué mencionamos tan raramente, cuando discutimos estas cosas, que no se puede responder a esta pregunta sin adoptar una convención humana con respecto a la combinación de estados de espín. Si tomamos la dirección +/- z como los polos norte y sur, cualquier estado con la misma amplitud al cuadrado en ambas componentes corresponderá a un espinor que apunta hacia el ecuador. Podría ser la dirección x, podría ser la dirección y, pero en algún lugar del ecuador. Para decir exactamente en qué dirección tienes que adoptar alguna convención humana con respecto a la relación compleja relativa de las dos amplitudes. No hay una respuesta intrínsecamente correcta a esta pregunta basada en la física pura.

Supongo que en este caso es porque la convención está muy bien establecida y es ampliamente utilizada. Si nos limitamos a usar las matrices estándar de Pauli, entonces está todo listo.

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