Representación de la incertidumbre en la esfera de Bloch

Question

Representación de la incertidumbre en la esfera de Bloch

usuario100411

Si consideramos la esfera de Bloch en la mecánica cuántica, que es una representación de dos niveles de un sistema mecánico cuántico, entonces cualquier estado puede representarse como

| ψ ⟩ = porque (θ / 2) | 0 ⟩ + {mi}^{i ϕ} pecado (θ / 2) | 1 ⟩ .

$| \psi \rangle = \cos\left(\theta/2\right)|0 \rangle + e^{i \phi} \sin\left(\theta/2\right) | 1 \rangle.$ Podemos demostrar que para cualquier estado

| ψ ⟩

$| \psi \rangle$ , la representación gráfica de los valores esperados

⟨ {\hat{S}}_{z} ⟩

$\langle \hat{S}_z \rangle$ ,

⟨ {\hat{S}}_{x} ⟩

$\langle \hat{S}_x \rangle$ y

⟨ {\hat{S}}_{y} ⟩

$\langle \hat{S}_y \rangle$ ¿Cuáles son las proyecciones sobre el

z, x

$z,x$ y

y

$y$ eje de la esfera de Bloch, respectivamente. ¿Existe alguna representación gráfica clara de la incertidumbre en las mediciones de

{\hat{S}}_{z}, {\hat{S}}_{z}

$\hat{S}_z, \hat{S}_z$ y

{\hat{S}}_{y}

$\hat{S}_y$ ?

Respuestas (1)

Representación de la incertidumbre en la esfera de Bloch

udv · Answer 1

Sí, hay algo, y vale incluso para estados mixtos, no solo para estados puros.

Tome una matriz de densidad arbitraria ${\hat \rho}$ correspondiente a un punto A = $(a_x, a_y, a_z)$ dentro de la esfera unitaria de Bloch, $|{\vec a}| \le 1$ , tal que

\hat{ρ} = \frac{1}{2} (\hat{I} + \vec{a} \cdot \hat{\vec{σ}})

${\hat \rho} = \frac{1}{2} \Big( {\hat I} + {\vec a}\cdot {\hat {\vec \sigma}}\Big)$ Dado que el giro promedia a lo largo de las direcciones

x

$x$ ,

y

$y$ ,

z

$z$ son los componentes

a_{x}

$a_x$ ,

a_{y}

$a_y$ ,

a_{z}

$a_z$ ,

⟨ {\hat{σ}}_{i} ⟩ = a_{i}, i = X, y, z

$\langle {\hat \sigma}_i \rangle = a_i\;, \;\;\; i = x,\;y\;,z$ las incertidumbres correspondientes dicen

⟨ (Δ {\hat{σ}}_{i})^{2} ⟩ = T r [({\hat{σ}}_{i}^{2} - ⟨ {\hat{σ}}_{i} ⟩^{2}) \hat{ρ}] = 1 - a_{i}^{2}, i = X, y, z

$\langle (\Delta {\hat \sigma}_i)^2 \rangle = Tr [({\hat\sigma}_i^2 - \langle {\hat \sigma}_i \rangle^2) {\hat \rho}] = 1 - a_i^2\;, \;\;\; i = x,\;y\;,z$ Considere por ejemplo

⟨ (Δ {\hat{σ}}_{x})^{2} ⟩ = 1 - a_{x}^{2}

$\langle (\Delta {\hat \sigma}_x)^2 \rangle = 1 - a_x^2$ . Corta la esfera de Bloch con un plano perpendicular al eje x y que pasa por el punto A. Luego, el radio del corte circular resultante es

\sqrt{1 - a_{x}^{2}} = \sqrt{⟨ (Δ {\hat{σ}}_{x})^{2} ⟩}

$\sqrt{1-a_x^2} = \sqrt{\langle (\Delta {\hat \sigma}_x)^2 \rangle}$ .

Para estados puros, cuando $|{\vec a}| =1$ y

⟨ (Δ {\hat{σ}}_{i})^{2} ⟩ = 1 - a_{X}^{2} = a_{y}^{2} + a_{z}^{2}

$\langle (\Delta {\hat \sigma}_i)^2 \rangle = 1 - a_x^2 = a_y^2 + a_z^2$ el corte circular pasa por el punto A, y

\sqrt{a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}

$\sqrt{a_y^2 + a_z^2}$ es simplemente la distancia de A al eje x. Del mismo modo para los otros ejes. Entonces, en general,

Por un estado puro $\psi$ la incertidumbre de espín a lo largo de cualquier dirección ${\vec n}$ es la distancia desde su punto representativo A = $(\langle {\hat \sigma}_x \rangle, \langle {\hat \sigma}_y\rangle, \langle {\hat \sigma}_z\rangle)$ en la esfera de Bloch a ese eje.

Evidentemente, la única dirección para la que esta distancia y la correspondiente incertidumbre son nulas es la dirección de ${\vec a}$ sí mismo.

Respuesta bastante interesante. ¿Es esto bien conocido? Además, ¿sabe si existe una generalización bien conocida de la esfera de Bloch que describe $N$ sistemas de dos niveles en lugar de uno?
Honestamente, no tengo idea, no uso mucho la esfera Bloch últimamente, pero no me sorprendería si lo fuera. En cuanto a los N sistemas de dos niveles, por supuesto, siempre tiene las N esferas de Bloch para los N estados reducidos, y debería haber algo en términos de gráficos para correlaciones de entrelazamiento (y clásicas), pero nuevamente, no estoy muy familiarizado con ellos. .
@udrv Hola, si tienes algo de tiempo, mira mi publicación .

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