¿Cómo encuentro un valor esperado para el momento magnético de un electrón?

Dado un estado de espín: | s ⟩ = alguna combinación lineal de | ↑ ⟩ + | ↓ ⟩ posiblemente con un componente imaginario. ¿Cómo se obtiene de la definición de un operador de momento magnético? m ^ mi = gramo m B σ ^ al valor esperado del momento magnético de espín del electrón?

gramo es el factor girmoagnético y es aproximadamente 2.0023.

m B = mi ℏ 2 metro o es el magnetón de Bohr.

σ ^ es la matriz de espín de Pauli.

Siento que esta es la operación.

⟨ s | m ^ mi | s ⟩

Si es así, necesito un ejemplo de recorrido con algún complejo arbitrario | s ⟩

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| s ⟩ = α | ↑ ⟩ + β | ↓ ⟩
Asumimos que s está normalizado, es decir ⟨ s | s ⟩ = 1 ⟹ | α | 2 + | β | 2 = 1 . Entonces el valor esperado de m ^ mi es:
⟨ m ^ mi ⟩ = ⟨ s | m ^ mi | s ⟩
⟹ ⟨ m ^ mi ⟩ = | α | 2 ⟨ ↑ | m ^ mi | ↑ ⟩ + | β | 2 ⟨ ↓ | m ^ mi | ↓ ⟩ + α ∗ β ⟨ ↑ | m ^ mi | ↓ ⟩ + α β ∗ ⟨ ↓ | m ^ mi | ↑ ⟩
Ahora, m ^ mi = gramo m B σ ^ . Usamos esto junto con ⟨ ↑ | σ ^ | ↑ ⟩ = 1 , ⟨ ↓ | σ ^ | ↓ ⟩ = − 1 , y ⟨ ↑ | σ ^ | ↓ ⟩ = ⟨ ↓ | σ ^ | ↑ ⟩ = 0 , Llegar:
⟨ m ^ mi ⟩ = gramo m B ( | α | 2 − | β | 2 )
Tenga en cuenta que esta expresión para el valor esperado es consistente con la interpretación | α | 2 y | β | 2 como probabilidades de encontrar que el espín sea ↑ y ↓ respectivamente, según sea necesario.

¿Qué pasa si tenemos dos? ↑ gira con α siendo real y β ser imaginario?
El resultado es aplicable para coeficientes complejos generales. Dos ↑ los términos de espín con diferentes coeficientes solo sumarían uno ↑ término de espín con la suma (compleja) de los coeficientes. pero es solo ↑ y ↓ juntos que describen todos los posibles estados de espín.
Ah, podría considerarlo α = X + y i y β = 0 y se aplicaría a una observación específica. ¿Sí?
O solo tendría ↑ significa que el resultado es un vector?
Puedes tomar α = X + i y y β = 0 .
Nota: había asumido que σ ^ en la pregunta fue el operador de giro en la dirección de ↑ y ↓ . El método general es similar si se refiere a un vector, como aparentemente se indica en esta última pregunta: physics.stackexchange.com/questions/177709
¿Cómo encuentro un valor esperado para el momento magnético de un electrón?
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