Rotación de un sistema de referencia en un vector

Así es como lo configuraría, en 3 pasos: primer paso, gire el sistema de coordenadas sobre el eje z (como sugirió) por$\phi$, de modo que se encuentra en el plano xz (es decir, su componente y es 0). Esto se hace rotando las coordenadas por

$M_1 = \left( \begin {array} {ccc} cos(\phi) & sin(\phi) & 0 \\ -sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right)$

¿Cómo supe que el signo menos va ahí? Bien,$\hat {i}$mapas a$-\hat{j}$, y$\hat {j}$mapas a$+ \hat{i}$(trate de pensar en ello conceptualmente, si$\phi$eran$\frac {\pi} {2}$).

Comprueba eso$(M_1 \vec x)$(que llamaré$\vec x'$) tiene un$\hat j$componente de 0.

yo obtengo$\vec x'$=$sin(\theta) \hat {i} + cos(\theta) \hat {k}$

Ahora, giremos nuestras coordenadas sobre el eje y para que el eje z se alinee con$\vec x'$. De nuevo,$\hat {k}$mapas a$-\hat {i}$, y$\hat {i}$mapas a$+\hat {k}$.

$M_2 = \left( \begin {array} {ccc} cos(\theta) & 0 & -sin(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ sin(\theta) & 0 & cos(\theta) \end {array} \right)$

Ahora, para hacer nuestras rotaciones, necesitamos$\hat {k} =\vec x'' = M_2 \vec x' = M_2(M_1 \vec x) = (M_2 M_1) \vec x = M \vec x$

entonces$M = M_2 M_1 = \left( \begin {array} {ccc} cos(\theta)cos(\phi) & cos(\theta)sin(\phi) & -sin(\theta) \\ -sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\ sin(\theta)cos(\phi) & sin(\theta)sin(\phi) & cos(\theta) \end {array} \right)$

Conectando esto a nuestro original$\vec x$, parece que esto funciona.

Escribiste una matriz que mapea$(0, 0, 1)$a$\vec x$. Esa es la inversa de la matriz que mapea$\vec x$a$(0, 0, 1)$.

Editar: es posible que no lo haya entendido bien, así que analicémoslo.

Quiere definir un conjunto de ejes cartesianos$e_i$tal que$\vec x = e_z$. Sabes$\vec x = {x'}^i {e'}_i$en una base antigua desde la que estás rotando. Las bases están relacionadas por un operador de rotación.$\underline R({e'_i}) = e_i$.

Entonces, echemos un vistazo a los componentes de${e'}_z$en la nueva base. queremos evaluar${e'}_z \cdot e_j = {e'}_z \cdot \underline R({e'}_j) = \underline R^{-1}({e'}_z) \cdot {e'}_j$. Esto significa que para encontrar los componentes de${e'}_z$sobre la nueva base, puede girarlo inversamente de manera equivalente y encontrar los componentes sobre la base anterior. Pero$\underline R^{-1}({e'}_z) \neq \vec x$--imagina esto si no sigues. Que obtuviste el resultado erróneo de que eran iguales me dice que tu matriz no es correcta. No es lo que pensabas que era; probablemente suponga que desea rotar vectores y no los ejes o alguna otra desconexión sutil similar.

Editar editar: en realidad, no estoy seguro de entender lo que dices que encontraste${e_z}'$estar en la nueva base. La notación no tiene sentido.

Tercera edición : veamos un cálculo completo del operador de rotación. Hacer esto con dos rotaciones encadenadas es algo oneroso, aunque sencillo. Usaré cuaterniones (espinores, rotores) en un álgebra geométrica (clifford).

La idea aquí es simple: cualquier rotación se puede descomponer en una acción de doble cara de un espinor.

$$\underline R(a) = \psi a \psi^{-1}$$

donde los productos aquí son productos clifford. el espinor$\psi$se forma como exponencial de un bivector. Dados dos vectores ortonormales$u, v$que abarcan el plano de rotación, el espinor que gira un ángulo$\theta$es$\psi = \exp(-u \wedge v \, \theta/2)$.

Primero, encontramos el vector que se encuentra en el plano$\vec x \wedge e_z$que es ortonormal a$e_z$. La expresión es bastante simple:

$$\rho = (\vec x \wedge e_z) \cdot e^z = (\sin \theta \cos \phi e_{xz} + \sin \theta \sin \phi e_{yz}) \cdot e^z = (\sin \theta \cos \phi e_x + \sin \theta \sin \phi e_y)$$

Exactamente como cabría esperar. Este vector tiene magnitud$\sin \theta$, por lo que el vector normalizado es

$$\hat \rho = e_x \cos \phi + e_y \sin \phi$$

Como hemos descompuesto el problema en coordenadas esféricas, conocemos el ángulo entre$\vec x$y$e_z$es$\theta$. Entonces podemos escribir el espinor como

$$\psi = \exp(-\hat \rho e_z \theta/2) = \cos \frac{\theta}{2} - \hat \rho e_z \sin \frac{\theta}{2}$$

Con$\hat \rho e_z = e_{xz} \cos \phi + e_{yz} \sin \phi$. Ahora pasemos a evaluar los componentes del operador.

$$\begin{align*}\underline R(e_x) &= \Big ( \cos \frac{\theta}{2} - \hat \rho e_z \sin \frac{\theta}{2} \Big) e_x \Big ( \cos \frac{\theta}{2} + \hat \rho e_z \sin \frac{\theta}{2} \Big) \\ &= e_x \cos^2 \frac{\theta}{2} + e_z \sin \theta \cos \phi - \sin^2 \frac{\theta}{2} (e_x \cos 2\phi + e_y \sin 2\phi) \end{align*}$$

Los otros vectores base se asignan a

$$\begin{align*} \underline R(e_y) &= e_y \cos^2 \frac{\theta}{2} + e_z \sin \theta \sin \phi + \sin^2 \frac{\theta}{2} (e_y \cos 2\phi - e_x \sin 2\phi) \\ \underline R(e_z) &= e_z \cos \theta - (e_x \cos \phi + e_y \sin \phi) \sin \theta \end{align*}$$

Verificar que esto sea correcto para el vector completo es un poco complicado, pero he verificado algunos límites importantes ($\phi = 0, \pi/2$) y el comportamiento parece verificarse.