¿Por qué obtengo dos resultados de un solo diagrama de cuerpo libre?

Para cualquier caso dado, hay algunos detalles obvios que no deben contradecirse. Un DCL proporciona un enfoque más matemático de la pregunta, pero la forma en que formamos nuestras ecuaciones se basa en estos detalles críticos.

Un FBD correcto satisface todos estos detalles (u observaciones).

Para el caso dado, las observaciones son:

1. La cuña es estacionaria,
2. El bloque nunca pierde el contacto con la cuña, y
3. El bloque acelera a lo largo de la cuña.

Cuando resuelve la fuerza normal vertical y horizontalmente, llega a dos conclusiones.

Conclusión$(1)$, Equilibrio Vertical.

$N\cos{\theta}=mg$

Esta ecuación indica que el bloque está en equilibrio vertical, pero esto contradice la observación$(3)$. El bloque debe moverse verticalmente hacia abajo.

Conclusión (2) , Aceleración horizontal.

$ma=N\sin{\theta}$

En este caso, sabemos que el bloque nunca sale de la cuña, pero si el bloque tiene alguna aceleración horizontal neta (como se muestra en el diagrama), definitivamente saldrá de la cuña. Esto contradice la observación$(2)$.

Entonces, las ecuaciones que creamos usando este DCL deben ser incorrectas porque no satisfacen nuestras observaciones. Sin embargo, no significa que el FBD sea incorrecto, sino que las ecuaciones que obtenemos con el FBD son incorrectas.

Cuando resuelve el peso del bloque a lo largo y perpendicular a la cuña, el DCL resultante satisface todas nuestras observaciones. Las dos ecuaciones correctas son,

Perpendicular a la superficie: Ecuación (1) ,$mg\cos{\theta}=N$, esto satisface la observación$(2)$.

A lo largo de la superficie: Ecuación (2) ,$ma=mg\sin{\theta}$, esto satisface la observación$(2)$y$(3)$.

Estas ecuaciones en sentido combinado, nos dicen que la fuerza neta sobre el bloque es$mg\sin{\theta}$. La fuerza normal se ha cancelado$mg\cos{\theta}$.

Por lo tanto, este es el FBD correcto.

Además, también sabemos esto por la observación de que el bloque se moverá tanto hacia adelante como hacia abajo. Entonces, si sigues resolviendo$mg\sin{\theta}$vertical y horizontalmente, obtendrá la verdadera aceleración vertical y horizontal del bloque respectivamente.

Sin embargo, si la cuña también está acelerando, solo tienes que formar ecuaciones que satisfagan las observaciones. La observación más importante en cualquiera de los casos es que el bloque está estacionario con respecto a la superficie de la cuña.

Espero que formar ecuaciones correctas ya no sea un problema para ti.

Se necesita algo de contexto. La respuesta depende de la aceleración.

• Rampa sin fricción: en este caso, el bloque acelera por la rampa. No hay aceleración en una dirección normal a la rampa, por lo que no hay fuerza neta en esa dirección, por lo que$N=mg \mathrm{cos}\theta$.

• Giro peraltado: en este caso, la aceleración es horizontal, por lo que no hay una fuerza vertical neta. Por lo tanto$N\mathrm{cos}\theta=mg$.

El principio físico detrás de problemas como este es la primera ley de Newton:
$F=M*a$
Donde F es la suma de todas las fuerzas en una dirección.

En la mayoría de los problemas escolares, no hay movimiento (y por lo tanto aceleración) en la dirección considerada, y la ecuación se reduce a$F=0$. Desafortunadamente, muchas personas llegan a la conclusión de que$F=0$sin motivarlo. Muchas veces tienen suerte y de hecho no hay movimiento en esa dirección, y obtienen la respuesta correcta. Pero a veces la suposición de que no hay aceleración es incorrecta. En ese caso, obtienen la respuesta incorrecta y es posible que no puedan averiguar por qué. Este es un ejemplo perfecto de una situación como esa. Sin fricción, que es el caso según el DCL dibujado, el bloque acelerará pendiente abajo. Un componente de esta aceleración está en la dirección vertical, por lo que la suposición de que la suma de las fuerzas en la dirección vertical es cero es incorrecta. Esto resulta en una respuesta incorrecta.

Se ha sugerido en otras respuestas que el FBD es incorrecto y debe resolverse en ciertas direcciones. Esto no es verdad. El problema se puede resolver descomponiendo las fuerzas en dos direcciones cualesquiera, siempre que no estén en la misma línea. La siguiente prueba muestra que el problema se puede resolver descomponiendo las fuerzas a lo largo y perpendiculares a la pendiente, pero también en dirección horizontal y vertical.

Comencemos con la solución fácil y derivemos las ecuaciones de movimiento en la dirección de la pendiente y perpendiculares a ella. Definiré la dirección t como descendiendo por la pendiente, y la dirección n perpendicular a ella hacia abajo. Las ecuaciones son:

$$\begin{align} mg\sin\theta &= ma_{t} \tag{1a} \\ mg\cos\theta - N &= ma_{n} \tag{2a} \end{align}$$

Ahora debemos notar que N no es una fuerza aleatoria, sino que es la fuerza de reacción que mantiene el bloque en la pendiente. Por tanto, la aceleración perpendicular a la pendiente es cero, y llamaremos a la aceleración a lo largo de la pendiente a. Las ecuaciones ahora se reducen a:

$$\begin{align} mg\sin\theta &= ma \tag{3a} \\ mg\cos\theta - N & = 0 \tag{4a} \end{align}$$

O:

$$\begin{align} ma &= mg\sin\theta \tag{5a} \\ N &= mg\cos\theta \tag{6a} \end{align}$$

Ahora la parte difícil, resolver el sistema en dirección horizontal y vertical. Definiremos la dirección x hacia la izquierda y la dirección y hacia abajo. Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones:

$$\begin{align} mg - N\cos\theta &= ma_{y} \tag{1b} \\ N\sin\theta &= ma_{x} \tag{2b} \end{align}$$

Nuevamente sabemos que el bloque solo puede moverse a lo largo de la pendiente, porque N es una fuerza de reacción, y nuevamente llamamos a la aceleración a lo largo de la pendiente (hacia abajo) a. Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones:

$$\begin{align} mg - N\cos\theta &= ma\sin\theta \tag{3b} \\ N\sin\theta &= ma\cos\theta \tag{4b} \end{align}$$

La ecuación 4b ahora se puede reescribir como:

$$\begin{align} N &= \frac{ma\cos\theta}{sin\theta} \tag{5b} \end{align}$$

Ahora la ecuación 5b se puede insertar en 3b:

$$\begin{align} mg - ma \frac{cos\theta}{sin\theta} cos\theta &= ma\sin\theta \tag{6b} \end{align}$$

Esto se puede reorganizar para:

$$\begin{align} mg &= ma \big( \frac{cos\theta}{sin\theta} cos\theta + sin\theta \big) \tag{7b} \end{align}$$

Ahora multiplicamos el segundo término entre paréntesis por$\frac{sin\theta}{sin\theta}$y obten:

$$\begin{align} mg &= ma \big( \frac{1}{sin\theta} \big) \tag{8b} \end{align}$$

O:

$$\begin{align} ma &= mg\sin\theta \tag{9b} \end{align}$$

Esto es lo mismo que la ecuación 5a. Insertando esto en la ecuación 5b da:

$$\begin{align} N &= mg\sin\theta \frac{cos\theta}{sin\theta} \tag{10b} \end{align}$$

Esto se simplifica a:

$$\begin{align} N &= mg\cos\theta \tag{11b} \end{align}$$

Que es de nuevo lo mismo que 6a.

La lección importante que se debe aprender aquí es siempre escribir las aceleraciones de forma explícita, y solo establecerlas en cero después de demostrar que serán cero.

no debe resolver lo normal en componentes Esto se debe a que Ncosθ≠mg. Hay una aceleración distinta de cero en la dirección hacia abajo. Si el bloque está en equilibrio, hay alguna otra fuerza que lo empuja a lo largo del plano inclinado. la fuerza que actúa a lo largo del plano inclinado que empuja el cuerpo hacia arriba se puede descomponer en componentes

1.la fuerza normal se debe al contacto entre el cuerpo y el avión

2.el mg (fuerza hacia abajo) se debe a la gravedad

la fuerza que no es normal a la superficie se resuelve

Ha cometido un error al aplicar aquí la segunda ley de Newton. Dice que$\sum \vec{F}=m\vec{a}$.

Dado que el cuerpo acelera a lo largo de la pendiente de la rampa (digamos, con aceleración$a$) habrá una componente de aceleración$a\sin{\theta}$que está a lo largo de la vertical. Entonces, la segunda ley de Newton, cuando se aplica en la dirección vertical, se convierte en:

Supongamos que, en cambio, aplicamos la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección de la reacción normal, entonces la componente de aceleración a lo largo de la normal es$a\cos{90^{\circ}} = 0$. Entonces la segunda ley de newton se convierte en:

Ahora, puede usar ambos FBD para resolver el problema, no hay nada de malo en eso. Cada diagrama de cuerpo libre te da 2 ecuaciones (a lo largo de las 2 direcciones perpendiculares), que necesitas para resolver las 2 variables en el problema,$N$y$a$. Normalmente, la gente usa el primer diagrama de cuerpo libre, porque entonces no tienes que resolver las ecuaciones, sino que puedes resolver directamente las variables (como lo has hecho)

Antes de sumar las fuerzas como se describe en las otras respuestas, me parece útil agregar un poco más de detalles al FBD. Aquí, es fácil ver que N = mg cos(theta) en lugar de mg = N cos(theta)

Aquí hay un DCL para una carretera con peralte, mostrando la fuerza centrípeta.

Cometiste un error trigonométrico muy simple.

cuando igualabas$N=mg \cdot cos(\theta)$ Está incorrecto. Buscar$cos(\theta)$definición y lo entenderás.

coseno:

sustantivo, Matemáticas

la función trigonométrica que es igual a la razón del lado adyacente a un ángulo agudo (en un triángulo rectángulo) a la hipotenusa.

Basado en esto, la relación tiene que ser, en el diagrama superior derecho, como$N=\frac{mg}{cos(\theta)}$

Y de hecho, llegas a la misma relación en tu segundo diagrama.

RECUERDA : Los números nunca mienten; si aparecen, entonces debe ser nuestro error: P

Estás dividiendo las fuerzas correctamente. Pero, ¿por qué los estás igualando?

Lo haces porque asumes la primera ley de Newton. El problema es que la primera ley de Newton no se aplica en ambos casos. Solo se aplica en la dirección perpendicular a la superficie, ya que nada acelera en esa dirección. Entonces, tu segunda ecuación es correcta.

En cualquier otra dirección, se incluye un componente de aceleración, por lo que debe usar la segunda ley de Newton e incluir un término de componente de masa por aceleración. La primera ecuación es incorrecta y debería haber sido: