Una esfera más pequeña que simplemente rueda hacia abajo sin deslizarse sobre otra esfera más grande [cerrado]

Question

Una esfera más pequeña que simplemente rueda hacia abajo sin deslizarse sobre otra esfera más grande [cerrado]

Física
rotación
cinemática-rotacional
deberes-y-ejercicios

ksr

En esta pregunta tenemos que encontrar la velocidad angular de la esfera más pequeña sobre su propio eje en el instante en que deja la superficie de la esfera más grande y se da que la esfera más pequeña está rodando puramente sobre la esfera más grande a lo largo de su movimiento.

Lo probé usando dos métodos.

Método 1 : el ángulo en el que la esfera sale de la esfera más grande se puede encontrar usando

metro gramo C o s (θ) = metro v^{2} / (R + r)

$mgcos(\theta) = mv^2/(R+r)$

A continuación, aplicar la conservación de energía sobre el propio eje de la esfera más pequeña.

\frac{1}{2} (metro v^{2}) + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} metro r^{2}) (\frac{v}{r})^{2} = metro gramo (R + r) (1 - C o s (θ))

$\frac{1}{2}(mv^2) + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = mg(R+r)(1-cos(\theta))$

El primer término de esta ecuación denota la energía cinética de traslación y el segundo término la energía cinética de rotación.

de aquí obtenemos el valor de v y luego $angular velocity= \frac{v}{r}$ .

Método 2 : usando la primera condición como en el método 1, obtenemos el ángulo en el que la esfera sale de la esfera más grande

A continuación, traté de aplicar la ecuación de conservación de energía sobre el eje de la esfera más grande y terminé con una respuesta incorrecta. En el lado izquierdo, el primer término es la energía cinética de rotación de la esfera más pequeña con respecto al centro de la esfera más grande. El segundo término denota la energía cinética de rotación de la esfera más pequeña (debido a la rotación sobre su propio eje)

\frac{1}{2} (\frac{2}{5} metro r^{2} + metro (R + r)^{2}) (\frac{v}{R + r})^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} metro r^{2}) (\frac{v}{r})^{2} = metro gramo (R + r) (1 - C o s (θ))

$\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2 + m(R+r)^2)(\frac{v}{R+r})^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = mg(R+r)(1-cos(\theta))$

Tenga en cuenta que es una duda genuina encontrada al intentar hacer la pregunta a través de otros métodos.

Gert

¿Puedes aclarar por qué crees

m g c o s (θ) = m v^{2} / (R + r)

$mgcos(\theta) = mv^2/(R+r)$ ?

ksr

@Gert Como la esfera más pequeña está a punto de abandonar la superficie de la esfera más grande, la fuerza de contacto de reacción normal se considerará cero. mgcos(θ) - N = mv^2/(R+r), donde N denota la reacción normal de la esfera más grande.

Gert

¿Cómo definiste

θ

$\theta$ ?

ksr

@Gert Lo siento, olvidé mencionar eso. θ es el ángulo formado por el radio vector en el punto donde la esfera más pequeña deja la esfera más grande con la vertical. He editado la figura. ¡Gracias!

ksr

@Gert De acuerdo con su ángulo θ = 90 grados. Pero esto no puede ser ya que la esfera escapará de la superficie antes de los 90 grados. Usando la ecuación que había escrito en la publicación anterior (es decir, la ecuación del movimiento circular de la esfera escrita dibujando su diagrama de cuerpo libre). N=0 porque sale de la superficie.

Gert

Estás en lo correcto. Pero creo que veo dónde te estás equivocando también. Lo publicaré si puedo.

Respuestas (1)

Una esfera más pequeña que simplemente rueda hacia abajo sin deslizarse sobre otra esfera más grande [cerrado]

¿Puedes aclarar por qué crees $mgcos(\theta) = mv^2/(R+r)$ ?
@Gert Como la esfera más pequeña está a punto de abandonar la superficie de la esfera más grande, la fuerza de contacto de reacción normal se considerará cero. mgcos(θ) - N = mv^2/(R+r), donde N denota la reacción normal de la esfera más grande.
@Gert Lo siento, olvidé mencionar eso. θ es el ángulo formado por el radio vector en el punto donde la esfera más pequeña deja la esfera más grande con la vertical. He editado la figura. ¡Gracias!
@Gert De acuerdo con su ángulo θ = 90 grados. Pero esto no puede ser ya que la esfera escapará de la superficie antes de los 90 grados. Usando la ecuación que había escrito en la publicación anterior (es decir, la ecuación del movimiento circular de la esfera escrita dibujando su diagrama de cuerpo libre). N=0 porque sale de la superficie.
Estás en lo correcto. Pero creo que veo dónde te estás equivocando también. Lo publicaré si puedo.

RC Drost · Answer 1

¿Lo cual está bien?

Así que primero establezcamos lo que es correcto. Supongamos que tenemos un círculo de radio $r$ y masa $m$ centrado en un círculo de radio $\bar R$ (no es exactamente lo que ha definido; en su caso $\bar R = R + r$ ). Diremos que la posición del $r$ -círculo en el $\bar R$ -el circulo es el angulo $\phi$ y, desde el ángulo $\phi$ , mediremos un ángulo $\theta$ alrededor del círculo más pequeño.

La posición de un pequeño trozo de masa en el $r$ -círculo es por lo tanto, en coordenadas xy, $\bar R [\cos\phi, \sin\phi] + r [\cos(\phi+\theta), \sin(\phi+\theta)]$ y su velocidad es

\vec{v} (ϕ, θ) = \bar{R} Ω [- pecado ϕ, porque ϕ] + r (ω + Ω) [- pecado (ϕ + θ), porque (ϕ + θ)],

$\vec v(\phi,\theta) = \bar R ~\Omega [-\sin\phi,\cos\phi] + r(\omega + \Omega) [-\sin(\phi+\theta), \cos(\phi+\theta)],$ donde he definido

Ω = d ϕ / d t

$\Omega = d\phi/dt$ y

ω = d θ / d t .

$\omega = d\theta/dt.$

Su velocidad al cuadrado es por lo tanto:

v^{2} = (\bar{R} Ω)^{2} + [r (ω + Ω)]^{2} + 2 \bar{R} Ω r (ω + Ω) porque (θ) .

$v^2 = (\bar R ~\Omega)^2 + [r(\omega + \Omega)]^2 + 2\bar R ~\Omega~r(\omega + \Omega)\cos(\theta).$ Integrando con una densidad de masa lineal

d m = λ r d θ,

$dm = \lambda~r~d\theta,$

m = 2 π r λ,

$m = 2 \pi r~\lambda,$ el gran efecto es que el coseno desaparece y nos queda:

k = \int d k = \int \frac{1}{2} d metro v^{2} = \frac{1}{2} metro [{\bar{R}}^{2} Ω^{2} + r^{2} (ω + Ω)^{2}]

$K = \int dK = \int \frac12 ~dm~ v^2 = \frac12 m \left[\bar R^2 \Omega^2 + r^2 (\omega+\Omega)^2\right]$ Ahora, para rodar sin resbalar sobre una superficie estacionaria, necesitamos una velocidad de cero en el ángulo

θ = π,

$\theta = \pi,$ entonces

\bar{R} Ω - r (ω + Ω) = 0,

$\bar R\Omega - r (\omega + \Omega) = 0,$ y

ω = \frac{\bar{R} - r}{r} Ω .

$\omega = \frac{\bar R - r}{r} ~\Omega.$

Así que en términos de $\Omega$ (que para ti es $v/(R + r)$ ) y $R = \bar R - r,$ y generalizando a partir de nuestra $mr^2$ a un momento de inercia $I$ , podemos ver que la expresión correcta es

k = \frac{1}{2} [metro (R + r)^{2} + I {(\frac{R}{r} + 1)}^{2}] Ω^{2} = \frac{1}{2} metro v^{2} + \frac{1}{2} I {(\frac{v}{r})}^{2} .

$K = \frac12 \left[m (R+r)^2 + I~\left(\frac Rr + 1\right)^2\right]~\Omega^2 = \frac12 m v^2 + \frac12 I \left(\frac vr\right)^2.$ Entonces, su primer método es correcto cuando lo analizamos cuidadosamente desde la perspectiva del segundo método.

¿Qué salió mal?

Ahora que sabemos lo que está bien, ¿qué salió mal en tu segundo argumento?

Su segundo método parece sufrir de una duplicación innecesaria de $I$ y la suposición de que $\omega = v/r$ en lugar de la correcta $\omega = R v / [r (R + r)].$ Esta diferencia probablemente se deba a que olvidaste que tus nuevas coordenadas giran con respecto a las coordenadas anteriores , por lo que algunas de las $v/r$ la rotación ya está incorporada en ellos. Esto presumiblemente genera el factor de discrepancia cuando se tiene plenamente en cuenta.

Una esfera más pequeña que simplemente rueda hacia abajo sin deslizarse sobre otra esfera más grande [cerrado]

ksr

Gert

ksr

Gert

ksr

ksr

Gert

Respuestas (1)

RC Drost

¿Lo cual está bien?

¿Qué salió mal?

¿Dónde me estoy equivocando al encontrar la dirección del momento angular?

Momento angular instantáneo de un disco

Desconcertante: movimiento relativo de dos puntos en un disco giratorio

¿Hay pruebas de la condición de rodadura?

Signo erróneo en momento angular (Mecánica Cuántica)

¿Una varilla giratoria tiene energía cinética de traslación y rotación?

¿Existe una fórmula para el vector de rotación en términos del vector de velocidad angular?

Dos ejes para movimiento de rotación.

Torque, aceleración angular y aceleración lineal

¿Por qué el período es el mismo para todos los radios?