Rigor matemático para ingenieros

Ingeniero con maestría, me gustaría mejorar mi nivel de rigor matemático. Por ejemplo, me gustaría llegar a captar

  • ¿Qué tiene que ver la teoría de la medida con la serie de Fourier y
  • qué tiene que ver la teoría de grupos con el valor propio,

entre otros. Me gustaría entender por qué la integración de Lebesgue es importante (la idea me parece un poco trivial, lo que naturalmente significa que todavía no lo entiendo), por qué la formalidad de las pruebas de Weierstrassian es preferible a la mera evasión del problema por , digamos, la extracción de la parte finita de Hadamard, y así sucesivamente.

Con este fin, he estado leyendo Elementary Real and Complex Analysis de Georgi E. Shilov, que me gusta; pero al ritmo que va Shilov, se necesitarían unas 10.000 páginas para avanzar hasta la serie de Fourier. Por lo tanto, busqué en Amazon y Google Books el libro Mathematical Rigor for Engineers.

Desafortunadamente, nadie parece haber escrito ese libro.

¿Cuáles son mis opciones?

(Para aclarar: no me refiero a hacer la pregunta basada en la opinión, "¿Qué debo hacer?" Más bien, me refiero a hacer la pregunta basada en la experiencia, "¿Cuáles son mis opciones?" Tal vez la única respuesta es que lo que yo search se asemeja a Financial Analysis for Kindergarteners o Transoceanic Logistics for Retail Clerks, pero dado que tengo conocimiento de un aplicador con producciones matemáticas como la Serie de Fourier y el valor propio, sin mencionar la parte finita de Hadamard, pensé en preguntar).

¿Ha tenido un curso serio de álgebra lineal, es decir, siguiendo el Álgebra lineal de Friedberg Insel y Spence/Hoffman & Kunze/Axler/algo más en ese nivel aproximado?
@Batman: espera... Mi preceptor de álgebra lineal es Joel N. Franklin, así que déjame ir a buscar a Friedberg Insel y sus amigos ahora...
No creo que sea fácil responder a una pregunta general como esta. Creo que tendría más sentido preguntar sobre temas individuales. Por ejemplo, "Tengo X conocimientos previos en análisis. Me gustaría aprender sobre el tema matemático Y de una manera matemáticamente rigurosa, con énfasis en las áreas de la teoría que son importantes en el campo aplicado Z. ¿Cómo puedo hacer esto en la forma más directa posible?" Dependiendo de la elección específica de X, Y y Z, obtendrá respuestas muy diferentes. Si te interesan muchos campos Y, entonces sería recomendable que siguieras el mismo camino de aprendizaje...
... que hacen los estudiantes de matemáticas, incluido un amplio curso inicial de análisis. De hecho, debido a que ha mencionado que le gustaría aprender la teoría de la medida, creo que es casi inevitable que necesitará una buena formación, al menos en análisis y álgebra lineal, similar a la de los estudiantes universitarios de matemáticas.
@Batman: una vez tomé un curso de posgrado inicial de un semestre en álgebra lineal, impartido por el departamento de matemáticas para no matemáticos: tocó aproximadamente 2/3 de la tabla de contenido de Insel y Spence. Por ejemplo: descomposición en valores singulares, sí; Cadenas de Markov, n.
@user49640: Ya veo. En general, es muy difícil saber por dónde empezar. Los mismos nombres que usan los matemáticos para sus temas, como análisis, tienden a tener una semántica no relacionada con los ingenieros. La cosa es esta: cuanto más uno aprende, más favorablemente queda uno con el carácter del típico matemático profesional. No creo que la mayoría de los matemáticos estén tratando deliberadamente de ser oscuros; y le creo a Felix Klein cuando dice que los matemáticos desean ser lo más inteligibles posible para los ingenieros. Pero existe esta brecha. Me gustaría puentearlo.
@ user49640: su consejo sobre análisis y álgebra lineal está bien tomado.
Si sabe 2/3 de lo que hay en el otro libro, no creo que tenga que preocuparse demasiado por el álgebra lineal por ahora. ¿Qué tan avanzado estás en el libro de Shilov? ¿Y te gustaría continuar en el Chat?

Respuestas (4)

Consulte el libro de 2 volúmenes de Roman [1] a continuación. Aunque es posiblemente la mejor referencia que conozco para lo que está preguntando (que se ha preguntado con bastante frecuencia a lo largo de los años en varios foros de matemáticas en línea), casi nunca se menciona su libro de 2 volúmenes. Los libros [2] y [3] son ​​bastante conocidos y posiblemente otros los mencionen, el libro [4] es bastante avanzado pero suficientemente fácil de leer para que valga la pena mirarlo de vez en cuando, y [5] es un poco menos conocido (y un poco idiosincrásico).

[1] Paul Roman, Some Modern Mathematics for Physicists and Other Outsiders , volumen 1 (1975): introducción al álgebra, topología y análisis funcional ( contenido del volumen 1 ) Y volumen 2 (1975): análisis funcional con aplicaciones ( volumen 2 ) contenido : haga clic en "mirar dentro" de amazon.com para el Volumen 1; el contenido del Volumen 2 se encuentra en las páginas x-xi)

Revisión en Physics Today Volumen 30 #5 (mayo de 1977), págs. 72 y 74; reseña de Andrew Lenard (1927-2020)

Revisión en Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones Volumen 3 #1 (1977), pp. 83-84; reseña de Wilhelm Ornstein (1905-2002)

[2] George F. Simmons, Introducción a la topología y el análisis moderno (1963)

[3] Thomas A. Garrity y Lori Pedersen, Todas las matemáticas que te perdiste: pero necesitas saber para la escuela de posgrado (2001)

[4] Charalambos D. Aliprantis y Kim C. Border, Análisis dimensional infinito. Guía del autoestopista (2006)

[5] Robert Hermann, Lectures in Mathematical Physics Volumen 1 (1970) y Volumen 2 (1970)

Después de publicar esto, me di cuenta de que esta es una pregunta de hace 3,5 años que, en las últimas horas, recibió un par de respuestas nuevas y, por lo tanto, fue trasladada a la "página principal de preguntas". Entonces, si bien es posible que mi respuesta ya no sea útil para el OP, supongo que aún podría ser útil para otros en el futuro.
A pesar de la antigüedad de la pregunta de 3,5 años, su respuesta me ha llegado. La respuesta es útil, perspicaz, completa y apreciada. Ahora también es la respuesta aceptada de la pregunta.

Creo que lo que realmente estás buscando es la teoría de la representación. Ahora bien, el problema es que puede ser bastante avanzado para un ingeniero que intenta abordar este tema desde un punto de vista matemático. Pero tal vez se pueda hacer desde un punto de vista más "físico".

Le sugeriría " Conferencias sobre álgebra lineal " de Gelfand que, si no recuerdo mal, también aborda la serie de Fourier, y luego el segundo volumen de "Principios de física matemática avanzada, volumen 2" de Richtmeyer, que tiene en los primeros 10 capítulos la base de teoría de la representación de una manera muy comprensible. No estoy seguro de esto último, ya que podría ser demasiado avanzado, pero yo lo intentaría si fuera tú.

Para la conexión de la serie de Fourier <-> teoría de la medida, puede realizar algunas operaciones usando series infinitas como una caja negra, pero para describir una serie de Fourier correspondiente a una función discontinua, (eventualmente) comenzará a pasar a la teoría de la medida. Recuérdeme responder después de que termine este semestre, ya que me estoy inscribiendo en un curso sobre esta pregunta exacta que comienza la próxima semana (mi licenciatura no enfatizó el lado "aplicado" fuera del departamento de Física). La teoría de grupos está conectada a los valores propios porque las matrices cuadradas forman un grupo y los valores propios le permiten detectar propiedades de una matriz individual (como si se puede descomponer de varias formas, cuál es el "comportamiento a largo plazo" de una cadena de Markov será,

Creo que es difícil superar a "Real Analysis" de John. M. Howie de Springer. Vengo de una formación en ingeniería y solo comencé a leer este libro después de haber completado mi licenciatura y maestría en ingeniería: me di cuenta de que después de 5 años de estudio, todavía carecía por completo de los rigurosos conceptos básicos de las matemáticas.

El libro de arriba es lo suficientemente "delgado" como para leerlo dentro de 1 año, incluidos los ejercicios (había leído todo el libro solo usando mis fines de semana: me tomó menos de 12 meses). Definitivamente proporcionó los conceptos básicos que luego me permitieron progresar más.

Algunos de los temas que menciona (es decir, Integración rigurosa de Lebesgue) se encuentran en lo que describiría como "Matemáticas de nivel de posgrado": el libro sugerido anteriormente es para estudiantes universitarios. Pero el enfoque que tomé es comenzar con eso y luego estudiar selectivamente temas de posgrado que me interesaban (es decir, integrales de Lebesgue, teoría de la medida de probabilidad).

Creo que el enfoque anterior es mejor que simplemente tomar un libro grueso con matemáticas de nivel de posgrado, porque como usted señala: tomaría demasiado tiempo tratar de acumular "conocimiento matemático general de nivel de posgrado" mediante el autoaprendizaje.

Después de leer el libro de Howie, luego, por ejemplo, revisé las notas de la conferencia de cursos abiertos del MIT aquí : sentí que las notas comienzan donde el libro de Howie "termina", es decir, el libro me permitió "retomar" temas de nivel de posgrado. eso hubiera sido antes inaccesible para mí.

PD: Es un tema interesante en sí mismo por qué los cursos de ingeniería (incluidos los de posgrado) no enseñan matemáticas con rigor. Creo que es un gran problema y debe ser abordado.

Rigor matemático para ingenieros
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v