Declaraciones lógicas con múltiples cuantificadores - matemáticas discretas

$\newcommand{\sem}[1]{[\![#1[\!]}$El universo del discurso es lo mismo que a veces se llama el dominio en una estructura$\mathcal{M} = \langle \mathcal{D}, \mathcal{I} \rangle$, dónde$\mathcal{D}$es el dominio/universo del discurso y$\mathcal{I}$es la interpretación de los símbolos no lógicos (= predicados, símbolos de función, constantes individuales) del lenguaje formal.

El universo del discurso es el conjunto de objetos de los que se habla, o más precisamente el dominio en el que se interpretan las variables:
Para cualquier variable$x$, la interpretación de$x$relativo a una función de asignación$v$y estructura$\mathcal{M}$, denotado$\sem{x}_{v,\ \mathcal{M}}$, es dado por$v(x)$, dónde$v$es una función de asignación

$$v: VAR \to \mathcal{D}$$

es decir, una función que asigna cada variable a un elemento en el universo del discurso.
Entonces los elementos de$\mathcal{D}$son los objetos concretos como los términos (entre otros, variables) del lenguaje son interpretados.

• $\forall x \phi(x)$es cierto iff cada forma de mapeo$x$a los elementos del discurso$a \in \mathcal{D}$marcas$\phi$cierto para ese particular$a$, de este modo$\forall x \phi(x)$significa que$\phi$se aplica a todos los elementos de$\mathcal{D}$.
• $\exists x \phi(x)$es cierto si hay al menos una forma de mapear$x$a un elemento del discurso$a \in \mathcal{D}$tal que$\phi$es cierto de$a$, de este modo$\exists x \phi(x)$significa que$\phi$se aplica a al menos un elemento en$\mathcal{D}$.

Sugerencia para 2.:

• $\forall$corresponde a la conjunción entre todos los elementos del discurso:$\forall x \phi(x) \equiv \phi(a_1) \land ... \land \phi(a_n)$, dónde$\{\sem{a_1}_{\mathcal{M}}, ..., \sem{a_n}_{\mathcal{M}}\} = \mathcal{D}$
• $\exists$corresponde a la disyunción entre todos los elementos del discurso:$\exists x \phi(x) \equiv \phi(a_1) \lor... \lor \phi(a_n)$, dónde$\{\sem{a_1}_{\mathcal{M}}, ..., \sem{a_n}_{\mathcal{M}}\} = \mathcal{D}$

(dónde$\mathcal{D}$es el universo del discurso)

Ahora solo necesita descubrir cómo combinar estas paráfrasis cuando tiene cuantificadores anidados (como$\forall x \exists y$).

La paráfrasis sin cuantificador para a. sería (donde el símbolo constante$a$denota el objeto$a$,$b$denota$b$y$c$denota$c$):

$(F(a,a) \lor F(a,b) \lor F(a,c)) \land (F(b,a) \lor F(b,b) \lor F(c,c)) \land (F(c,a) \lor F(c,b) \lor F(c,c))$

¿Puedes inferir de esto cómo deberían ir los otros ejemplos?