¿Qué significa una implicación al establecer las soluciones de una ecuación?

Al resolver una ecuación, la cadena lógica subyacente en realidad implica$\color{#00F}\iff$("si y sólo si") en lugar de simplemente$\color{#C00}\implies$(o$\color{#C00}\impliedby$) entre pasos.

Esta reversibilidad asegura que las soluciones extrañas sean rechazadas.

$$\begin{pmatrix} \;\sqrt{x+3}=x+1 \color{#C00}\implies x+3=(x+1)^2 \color{#00F}\iff x=-2\;\text{or}\;1\;\\ \text{versus}\\ \sqrt{x+3}=x+1 \color{#00F}\iff x=1 \end{pmatrix}$$ y que ninguna solución se descarte inadvertidamente $$\begin{pmatrix} x^2=x \color{#C00}\impliedby x=1\\ \text{versus}\\ \;x^2=x \color{#00F}\iff x=0\;\text{or}\;1\; \end{pmatrix}.$$

En la práctica, debido a que tratar de garantizar la invertibilidad en cada paso es tedioso y propenso al descuido, al resolver ecuaciones, es mejor trabajar en una dirección hacia adelante como esta

$$\sqrt{x+3}=x+1 \color{#C00}\implies x+3=(x+1)^2 \color{#C00}\implies x=-2\;\text{or}\;1,$$ luego conectando las soluciones candidatas en la ecuación dada para descartar las extrañas.

Aquí hay una explicación más visual.

PS No es instructivo interpretar$\implies$(implicación) como condicional material$(\rightarrow)$o para interpretar$\iff$(equivalencia) como material bicondicional$(\leftrightarrow).$En cualquier caso, no es necesario ahondar en la lógica formal a la hora de resolver ecuaciones.

Tengo problemas para entender lo que significa la siguiente declaración:

$$x^2=4 \implies x=2 \hspace{1em} \text{or} \hspace{1em} x=-2$$ ¿Cómo podemos relacionar esta afirmación con un condicional material?

Para cualquier proposición lógica$A$y$B$,$A\implies B$significa precisamente que no se da el caso de que ambos$A$es cierto y$B$Es falso.

Aquí está la tabla de verdad.

En tu ejemplo, tienes:

$A\equiv x^2=4$

$B\equiv x=2 \lor x=-2$

Aplicando la definición anterior, no es el caso que ambos$x^2=4$es cierto y$x=2 \lor x=-2$Es falso.

Publicación relacionada: ¿Cuál es la diferencia entre implicación material e implicación lógica?

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Una oración "implica" es una oración condicional material que es lógicamente verdadera.

uno puede usar$X \implies Y$para expresar el hecho de que, no sólo no es (fácticamente) el caso de que X sea verdadero e Y falso, sino también que no puede (lógicamente) ser el caso.

Por ejemplo "$x$vive en Florida "implica materialmente"$x$vive en USA" para todos$x$(de hecho, de hecho, es el caso de ninguna$x$eso$x$vive en Florida mientras$x$no vive en USA). Pero lo primero no implica lógicamente lo segundo, pues podría darse el caso de que uno viva en Florida sin vivir en USA (en caso de que Florida no se hubiera unido a la Unión, lo cual es una situación lógicamente posible).

Entonces uno no puede escribir:$Florida(x) \implies USA(x)$, no se puede deducir el consecuente del antecedente , usando solo la lógica

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• Primero hay una fórmula condicional material que no es una oración

$x^2 = 4 \rightarrow (x=2 \lor x= -2)$.

• Segundo, lo conviertes en una oración usando un cuantificador

$\forall(x) [x^2 = 4 \rightarrow (x=2 \lor x= -2)]$.

Esta oración puede ser verdadera o falsa.

En esta etapa, todavía tienes un condicional material.

• Tercero, logras probar el consecuente bajo el antecedente tomado como hipótesis. Significa que el consecuente se sigue lógicamente del antecedente.

Puedes expresar esto como:

$x^2 = 4 \implies ( x=2 \lor x= -2)$$\space$($\space$para todos$x$)

lo que significa que no hay ningún caso posible en el que$x^2 = 4$es cierto y$( x=2 \lor x= -2)$Es falso.

• En la resolución de ecuaciones, queremos que el siguiente paso siga lógicamente al anterior, por lo que la flecha se entiende como un condicional material que se cumple en todos los casos posibles, es decir, como "implica" o "$\implies$, o "implicación lógica".

Creo que el verdadero problema aquí es psicológico. En matemáticas de pregrado aprendes "razonamiento lógico" de dos maneras. Uno es esencialmente simple sentido común, escribir declaraciones en inglés y analizar su significado. El otro es el razonamiento formal con tablas de verdad e implicaciones.

Rara vez se mezclan bien a un nivel elemental.

En este ejemplo, pensaría en el significado cotidiano (pero preciso) de las declaraciones.

Si (para algún número$x$) tú lo sabes$x^2 = 4$entonces se sigue que$x$debe ser cualquiera$2$o$-2$.

En este caso particular, el razonamiento también funciona a la inversa.

para cada uno de$x=2$y$x=-2$sabes$x^2$= 4.

Puede escribir estas afirmaciones con$\implies$y$\iff$pero recomendaría no ir más allá con los cuantificadores y la lógica formal.

Nota. El símbolo de la raíz cuadrada a menudo causa confusión en este contexto.$\sqrt{4} = 2$, no$\pm 2$. Ese símbolo siempre se refiere a la solución no negativa.