Expresar las declaraciones lógicas cuantificadas usando los predicados

(1) es correcto. "Si alguien es un jugador de fútbol profesional, entonces es rico"

$$\forall x\big(L(x)\to R(x)\big)$$

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Para (2), una restricción sobre un cuantificador existencial no usa la implicación, sino la conjunción.

"Alguien es un beisbolista profesional y es rico"

$$\exists x\big(P(x) \wedge R(x)\big)$$

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Para (3) no puede usar predicados como argumentos para el predicado$K$.

3: Todos los jugadores profesionales de béisbol conocen al menos a un jugador profesional de fútbol americano.

"Si alguien$x$es un jugador de béisbol profesional, entonces hay alguien$y$eso es conocido por$x$y es un jugador de fútbol profesional"

$$\forall x \Big(P(x) \to \exists y \big(K(x,y)\wedge L(y)\big)\Big)$$

O equivalente$\;\forall x \exists y \Big(P(x) \to \big(K(x,y)\wedge L(y)\big)\Big)\;$si debe mover los cuantificadores a la izquierda.

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¿Puedes hacer el resto ahora?

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Esto es lo que tengo hasta ahora:

Todos los jugadores de béisbol profesionales conocen a un rico jugador de fútbol profesional.

$∀x∀y(P(x)⇒K(x,y)∧L(y))$

Eso dice "si alguien es un jugador de béisbol profesional, entonces todos son conocidos por ellos y son jugadores de fútbol profesional".

Quieres decir: "Si alguien es un jugador de béisbol profesional, entonces conoce a alguien que es rico y un jugador de fútbol profesional".

Algunos jugadores de fútbol profesionales conocen a un jugador de béisbol profesional rico.

$∃x(P(x)⇒∀y(K(x,y)∧L(y)))$

¿Q...? Eso dice: "Hay alguien que no es un jugador profesional de béisbol o conoce a todos y todos son jugadores profesionales de fútbol americano".

Lo que quieres decir es "Alguien es un jugador de fútbol profesional y conoce a alguien que es rico y un jugador de béisbol profesional".

Todo el mundo conoce a un jugador de fútbol profesional rico o un jugador de béisbol profesional rico.

$∀x(∃y(K(x,R(P(y))∨K(x,R(L(y)))$

... No intentes mezclar los predicados. Usa conjunciones. Pero parece que estás en el camino correcto.

Lo que parece estar tratando de decir es que "todo el mundo conoce a alguien que es rico y que es un jugador profesional de fútbol americano o de béisbol". De este modo:

$$\forall x \exists y\Big( K(x,y) \wedge R(y)\wedge \big(P(y)\vee L(y)\big) \Big)$$