Prueba del teorema de Gauss para la electrostática del libro de Griffiths

Supongamos que el cargo$q$se encuentra en el origen. Entonces el flujo de$\vec{E}$a través de cualquier superficie gaussiana cerrada$\Sigma$puede ser representado por la integral de superficie:

$$\begin{equation} \Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\Sigma}\frac{\vec{r}}{r^3}.d\vec{\sigma} \end{equation}$$

Para demostrar que esta integral es independiente de la superficie$\Sigma$, necesitas el siguiente teorema, que puedes verificar fácilmente con un simple cálculo o puedes encontrarlo en línea.

Dejar$S$sea ​​cualquier superficie y supongamos$S'$es la proyección de$S$sobre la esfera$x^2+y^2+z^2=R^2$, entonces:

$$\iint_S\frac{\vec{r}}{r^3}.d\vec{\sigma}=\frac{{area}(S')}{R^2}$$ Si aplicas este teorema con $R=1$a la ecuación uno, entonces el área de $S'$es el de toda la esfera con $R=1$y es igual a $4\pi$. Por lo tanto:

$$\Phi=\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\right)4\pi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

Nota:$\frac{{area}(S')}{R^2}$es el ángulo sólido de área$S$