He leído dos derivaciones diferentes de las densidades de carga de volumen y superficie unidas y no estoy seguro de cómo conciliar esas dos.
se transforma en
Ambos enfoques llaman al segundo término carga ligada al volumen y definen
y aquí es donde los dos enfoques difieren:
El primer enfoque (Griffiths) llama al primer término carga superficial y define
El segundo enfoque ( http://physics.unl.edu/tsymbal/teaching/EM-913/section4-Electrostatics.pdf página 4) afirma que el primer término es cero y deriva el término de la superficie usando la carga ligada al volumen como una función delta (página 5).
Lo que me confunde es que cuando observa por primera vez (2), ¿cómo sabría si debe probar el método de función delta o el método de carga superficial? Sé que no importa cuál elijas, siempre y cuando solo hagas uno de estos dos, pero me incomoda que si tomas en cuenta la carga superficial, tendrías que ignorar la superficie en la segunda integral, o viceversa con la función delta; seguramente los dos términos son independientes y lo que haces al límite de uno no debería afectar la otra integral?
Empecé a pensar en esto cuando estaba leyendo sobre la Ley de Gauss en dieléctricos y el hecho de que puedes 'ignorar' las cargas superficiales, así que si pudieras hacer referencia a eso en tu respuesta, te lo agradecería.
Las dos afirmaciones están bien. El primero considera que la superficie cerrada para la integración está dentro del cuerpo material (por debajo de la superficie límite real del cuerpo), por lo que es distinto de cero en la superficie de integración y hay algún término de superficie; divergencia de dentro de la superficie puede no ser cero, pero por lo general es cero, si el cuerpo tiene una constante dieléctrica espacialmente uniforme. La segunda afirmación utiliza una superficie un poco más grande que contiene todo el cuerpo en el vacío, por lo que es cero en la superficie de integración y el término de superficie desaparece y solo contribuye el término de divergencia, cerca de la superficie real del cuerpo.
De cualquier manera, se obtiene la misma carga de polarización cerca de la superficie real del cuerpo.
Creo que no hay problema con las dos formas de ver la densidad de carga unida a la superficie. En la página (4) dicen que se convierte en cero porque la densidad de la carga unida se mide en una superficie cerrada (volumen finito) dado que la cantidad total de carga que cruza la superficie está en direcciones opuestas, este flujo se cancela y la red da cero.
tomamos un volumen macroscópico, contendrá la misma cantidad de cargas positivas y negativas y la carga neta será cero.
en la página (5) hay una discontinuidad de , debemos considerar la condición de contorno y aquí la superficie es infinitesimal y no se convertirá en cero.