Integral ∫dxtanx+cotx+cscx+secx∫dxtan⁡x+cot⁡x+csc⁡x+sec⁡x\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}

Question

Integral ∫dxtanx+cotx+cscx+secx∫dxtan⁡x+cot⁡x+csc⁡x+sec⁡x\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}

integración
Matemáticas
sustitución
Integrales indefinidas
Integrales trigonométricas

aakash kumar

\int \frac{d X}{broncearse X + cuna X + \csc X + segundo X}

$\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}$

broncearse X + cuna X + \csc X + segundo X = \frac{pecado X + 1}{porque X} + \frac{porque X + 1}{pecado X}

$\tan x + \cot x + \csc x + \sec x=\frac{\sin x + 1}{\cos x} +\frac{\cos x + 1}{\sin x}$

= \frac{pecado X + porque X + 1}{pecado X porque X}

$= \frac{\sin x +\cos x +1}{\sin x \cos x}$

t = broncearse \frac{X}{2}

$t= \tan {\frac{x}{2}}$ Al resolver,

\frac{1}{broncearse X + cuna X + \csc X + segundo X} = \frac{t (1 - t)}{1 + t^{2}}

$\frac{1}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}=\frac{t(1- t)}{1+ t^2}$

⟹ \int \frac{broncearse \frac{X}{2} (1 - broncearse \frac{X}{2})}{1 + {broncearse}^{2} \frac{X}{2}} d X

$\implies \int \frac{\tan {\frac{x}{2}}(1-\tan {\frac{x}{2}})}{1+\tan^2 {\frac{x}{2}}}{dx}$

Creo que he puesto las cosas más difíciles. ¿Cómo puedo continuar? ¿Hay algún sustituto mejor para él?

cansado

x = 2 \arctan (z)

$x=2\arctan(z)$ y todo se vuelve elemental

Shailesh

Puedes multiplicar y dividir por

\csc x \sec x

$\csc x \sec x$ . Después de eso usa tu sustitución

t = \tan \frac{x}{2}

$t = \tan \frac{x}{2}$ te llevará a través.

aakash kumar

@cansado Aumentará el denominador y esto será difícil de integrar

\frac{2 z (1 - z)}{(1 + z^{2})^{2}} d z

$\frac{2z(1-z)}{(1+z^2)^2}{dz}$

Imranfat

@AakashKumar Esto está pidiendo descomposición en fracciones parciales. Su denominación ya está factorizada. Tedioso pero factible. Configuración:

\frac{A x + B}{1 + z^{2}} + \frac{C x + D}{(1 + z^{2})^{2}}

$\frac{Ax+B}{1+z^2}+\frac{Cx+D}{(1+z^2)^2}$

cansado

@AakashKumar, ¿dónde ve exactamente las dificultades?

cansado

@imranfat pfd no es necesario. solo nota que

\partial_{z} (\frac{1}{1 + z^{2}}) = \frac{2 z}{(1 + z^{2})^{2}}

$\partial_z\left(\frac{1}{1+z^2}\right)=\frac{2z}{(1+z^2)^2}$

Imranfat

@cansado, no entendí eso, inmediatamente fui con el método del "martillo". Pero el punto que estaba tratando de transmitir al OP es que este tipo de términos fraccionarios normalmente deberían hacerse con PFD. ¿Es capaz de hacer eso? Y por lo tanto, su pregunta sobre las "dificultades" es válida.

Imranfat

@cansado. Por cierto, que le pasa a ese gato???

cansado

@imranfat, simplemente está cansado, supongo;)

mickey

También se podría simplificar el integrando a

(\cos x + \sin x - 1) / 2

$(\cos x+\sin x-1)/2$ . Entonces es realmente fácil de integrar.

aakash kumar

@mickep Gracias, realmente lo hizo fácil.

Respuestas (4)

Integral ∫dxtanx+cotx+cscx+secx∫dxtan⁡x+cot⁡x+csc⁡x+sec⁡x\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}

Puedes multiplicar y dividir por $\csc x \sec x$ . Después de eso usa tu sustitución $t = \tan \frac{x}{2}$ te llevará a través.
@cansado Aumentará el denominador y esto será difícil de integrar $\frac{2 z (1 - z)}{(1 + z^{2})^{2}} d z$ $\frac{2z(1-z)}{(1+z^2)^2}{dz}$
@AakashKumar Esto está pidiendo descomposición en fracciones parciales. Su denominación ya está factorizada. Tedioso pero factible. Configuración: $\frac{Ax+B}{1+z^2}+\frac{Cx+D}{(1+z^2)^2}$
@imranfat pfd no es necesario. solo nota que $\partial_z\left(\frac{1}{1+z^2}\right)=\frac{2z}{(1+z^2)^2}$
@cansado, no entendí eso, inmediatamente fui con el método del "martillo". Pero el punto que estaba tratando de transmitir al OP es que este tipo de términos fraccionarios normalmente deberían hacerse con PFD. ¿Es capaz de hacer eso? Y por lo tanto, su pregunta sobre las "dificultades" es válida.
También se podría simplificar el integrando a $(\cos x+\sin x-1)/2$ . Entonces es realmente fácil de integrar.

usuario84413 · Answer 1

$\displaystyle\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}=$

$\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin x+\cos x}\,dx=\int\frac{\sin x\cos x}{1+\sin x+\cos x}\cdot\frac{1-(\sin x+\cos x)}{1-(\sin x+\cos x)}\,dx$

$=\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x(1-(\sin x+\cos x))}{1-(\sin x+\cos x)^2}\,dx=\int\frac{\sin x\cos x-\sin^2 x\cos x-\cos^2x\sin x}{-2\sin x\cos x}\,dx$

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int(1-\sin x-\cos x)\,dx=\frac{1}{2}(-x-\cos x+\sin x)+C$

amarildo · Answer 2

\begin{aligned} \int \frac{1}{\frac{pecado (X)}{porque (X)} + \frac{porque (X)}{pecado (X)} + \frac{1}{pecado (X)} + \frac{1}{porque (X)}} d X & = \int \frac{pecado (2 X)}{2 (porque (X) + pecado (X) + 1)} d X \\ = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{pecado (2 X)}{porque (X) + pecado (X) + 1} d X \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{pecado (t)}{pecado (\frac{t}{2}) + porque (\frac{t}{2}) + 1} d t \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int pecado (\frac{t}{2}) + porque (\frac{t}{2}) - 1 d t \\ = \frac{1}{4} (- 2 X + 2 pecado (X) - 2 porque (X)) + C \end{aligned}

$\begin{aligned}\int \frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\:+\:\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\:+\:\frac{1}{\sin(x)}\:+\:\frac{1}{\cos(x)}}dx & = \int \:\frac{\sin \:\left(2x\right)}{2\left(\cos \:\left(x\right)+\sin \:\left(x\right)+1\right)}dx \\& =\frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{\sin \left(2x\right)}{\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)+1}dx \\& =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{\sin \left(t\right)}{\sin \left(\frac{t}{2}\right)+\cos \left(\frac{t}{2}\right)+1}dt \\& =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \:\sin \left(\frac{t}{2}\right)+\cos \left(\frac{t}{2}\right)-1dt \\& =\color{red}{\frac{1}{4}\left(-2x+2\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right)\right)+C} \end{aligned}$

Sustitución aplicada:

t = 2 X, d t = 2 d X

$\color{blue}{t=2x,\quad \:dt=2dx}$

jamesj · Answer 3

Se puede usar una fórmula trigonométrica:

\begin{aligned} (pecado X + porque X + 1) (pecado X + porque X - 1) = pecado 2 X \\ I & = \int \frac{pecado X porque X}{pecado X + porque X + 1} d X = \int \frac{1}{2} (pecado X + porque X - 1) d X = \frac{1}{2} (- porque X + pecado X - X) + C \end{aligned}

$\begin{align} &(\sin x+\cos x+1)(\sin x+\cos x-1)=\sin 2x\\ I&=\int\frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x+1}dx=\int\frac{1}{2}(\sin x+\cos x-1)dx=\frac{1}{2}(-\cos x+\sin x-x)+C\\ \end{align}$

Lai · Answer 4

\begin{aligned} \int \frac{d X}{broncearse X + cuna X + \csc X + segundo X} & = \int \frac{porque X pecado X}{1 + porque X + pecado X} d X \\ = - \frac{1}{2} \int \frac{1 - (porque X + pecado X)^{2}}{1 + porque X + pecado X} d X \\ = - \frac{1}{2} \int (1 - porque X - pecado X) d X \\ = \frac{1}{2} (- X + pecado X - porque X) + C \end{aligned}

$\begin{aligned}\int \frac{d x}{\tan x+\cot x+\csc x+\sec x}&=\int \frac{\cos x \sin x}{1+\cos x+\sin x} d x \\&= -\frac{1}{2} \int \frac{1-(\cos x+\sin x)^2}{1+\cos x+\sin x} d x \\& = -\frac{1}{2} \int(1-\cos x-\sin x) d x\\&= \frac{1}{2}(-x+\sin x-\cos x)+C\end{aligned}$

Integral ∫dxtanx+cotx+cscx+secx∫dxtan⁡x+cot⁡x+csc⁡x+sec⁡x\int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \csc x + \sec x}

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usuario84413

amarildo

jamesj

Lai

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