¿Puedo determinar el término potencial en la ecuación de Schrödinger en función de los valores propios? [duplicar]

Hay distintos potenciales que tienen los mismos valores propios pero uno. Se llaman isoespectrales. La mecánica cuántica supersimétrica se basa en esto. Por ejemplo, el pozo de potencial infinito

$$V_1(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \quad\hbox{if }\ 0\le x \le L \\ \infty &\hbox{otherwise}\, ,\end{array}\right.$$ comparte todos los valores propios con $$V_2(x)=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\left(2\csc^2(\pi x/L)-1\right)$$ excepto el valor propio del estado fundamental$E_0^{1}=\hbar^2\pi^2/(2mL^2)$. De hecho, de manera más general$E_k^{1}=E_{k-1}^2$para$k=1,2,\ldots$, es decir, el primer estado excitado de$V_1(x)$es el estado fundamental de$V_2(x)$. (Las funciones propias son bastante diferentes para los dos potenciales).

Supongo que esto significa que, a menos que esté seguro de que tiene todos los valores propios, no puede determinar completamente el potencial

(Esto es de las notas y la revisión de Fred Cooper, por lo que espero que las personas más informadas puedan señalar cualquier error en mi respuesta).