Tengo una pregunta muy simple con respecto a los métodos numéricos en física.
Quiero resolver el problema de valores propios para una partícula que se mueve en un potencial arbitrario. Tomemos 1D para ser concreto. es decir quiero encontrar satisfactorio
Ahora, ¿cómo lo hago exactamente? Ingenuamente implementaría el siguiente algoritmo:
1) Elige algunos .
2) quiero encontrar que es normalizable. Así que podría elegir un gran , colocar y e integre numéricamente a partir de ahí utilizando la ecuación de Schrödinger.
3) Si encuentro una solución que es exponencialmente pequeña a la derecha del origen, entonces digo que la solución es normalizable (ya que está decayendo en ), y acepto la pareja .
4) incremento y repito el proceso.
Al hacerlo, debería obtener el espectro alrededor de mi valor inicial de .
¿Este algoritmo realmente funciona? También me parece una forma muy descontrolada de hacerlo; No tengo idea de cuán preciso será el espectro. Por ejemplo, cambiaría ¿Hacer la diferencia?
La cuestión es que sé por la teoría de Sturm-Liouville que el espectro va a ser discreto (dado satisfaciendo algunas buenas propiedades). Entonces el espectro va a ser un conjunto de medida 0 entre toda la línea real que vive. Esto significa que estoy casi seguro (es decir, con probabilidad 1) nunca voy a obtener una solución que sea normalizable, y cualquier solución que intente integrar numéricamente desde mi punto de partida siempre va a explotar después de haber integrado lo suficiente como para la derecha.
Entonces, ¿qué algoritmo usa la gente para obtener numéricamente el espectro y los valores propios? ¿Cómo controlo también la precisión del espectro generado?
Lo que está proponiendo funcionará, es esencialmente lo que se conoce como el método de disparo para resolver el problema de valores propios. Tenga en cuenta que la función propia se define hasta una constante multiplicativa, por lo que solo puede establecer =1 y solo hay un parámetro variar para lograr una solución que se descomponga correctamente en el infinito. El método de disparo es fácil de programar pero tiene una capacidad muy limitada.
Un enfoque mucho más poderoso para lidiar con este tipo de problema es discretizar todas las funciones y operadores en una cuadrícula espacial { , ...}. Luego, el problema se reduce a un problema de valores propios de álgebra lineal para el cual existen muchas rutinas enlatadas confiables.
Hay una variedad de métodos para determinar el espectro de un sistema hamiltoniano en una o más dimensiones. Para sistemas con un pequeño número de grados de libertad, se puede tomar un enfoque matricial directo, a menudo usando alguna variante de la Representación de variable discreta Sinc del hamiltoniano .
Dependiendo del tamaño de la matriz Sinc-DVR, ya sea directo procedimientos de diagonalización (para matrices pequeñas bajo ), o el espacio de Krylov iterativo o los métodos de Lanczos (para matrices muy grandes) se pueden usar para determinar las partes relevantes del espectro propio.
Dependiendo del grado en que se produzca la correspondencia cuántica-clásica en la porción relevante del espacio de fase, se puede usar un cambio de base apropiado en el método DVR para lograr ahorros computacionales significativos al usar solo estados base que probablemente desempeñen un papel en el autoestados del hamiltoniano . Esto procede aprovechando la correspondencia aproximada entre la región del espacio de fase clásico ocupado por un estado con energía y la región del espacio reticular de von Neumann que ocupa el estado cuántico, como se ilustra en el siguiente video:
http://www.youtube.com/watch?v=zg-uDK5Iekk
Como han mencionado otros, se puede hacer que su método funcione, aunque no estoy seguro de que se use particularmente a menudo para este tipo de cálculos, ya que existen alternativas más eficientes como las proporcionadas anteriormente.