Aritmética del hamiltoniano en transformación canónica

El hamiltoniano se transforma de acuerdo con la siguiente regla:

$H^\prime = H - \partial_t f$, dónde$f=f(q,t)$(1).

Podemos encontrar esta función usando eso:

$p = p^\prime-\partial_qf=p^\prime-m \dot{X}$.

Entonces vemos que$f=m \dot{X}q +c , c \in \mathcal{R}.$(2).

Reemplazar la ecuación (2) en la ecuación (1) da:

$H^\prime=H-\partial_t(m\dot{X}q+c)=H-m\partial_t(q\dot{X})$, ahora mirando la forma final de la ecuación que tienes que mostrar, supongo que$\dot{q}=0$tal que$H^\prime=H-mq\ddot{X}$. Dónde$H=(p^\prime)^2/2m+V(q-X(t))-m\dot{X}^2/2$es el hamiltoniano que ya derivaste.

Advertencia : no estoy seguro de qué es exactamente$q$es en su caso y si$\dot{q}=0$sostiene Esto es algo que debe verificar usted mismo ya que no conozco el contexto, etc. Pero esto funciona completamente bien.

Sugerencia: pruebe una función generadora de tipo 2

$$F_2(q,P,t)~=~\left(P-m\dot{X}(t)\right)q,$$ para una tomografía computarizada $$(q,p,t)~\to~ (Q,P,t),$$ tal que $$K-H ~=~\frac{\partial F_2}{\partial t}~=~\color{red}{-m\ddot{X}(t)q}, \qquad Q~=~\frac{\partial F_2}{\partial P}~=~q, \qquad p~=~\frac{\partial F_2}{\partial q}~=~P-m\dot{X}(t).$$