Determinar qué función generadora usar para la transformación canónica

Así es como lo entiendo: digamos que tienes algunas coordenadas$p_i$y algunos momentos$q_i$. Quieres encontrar transformaciones

$$Q_i\equiv Q_i(q_i,\,...,\,q_n,\,p_i,...,\,p_n,\,t)\qquad P_i\equiv P_i(q_i,\,...,\,q_n,\,p_i,...,\,p_n,\,t)$$

Estas variables$p_i$,$q_i$,$Q_i$, y$P_i$debe satisfacer las ecuaciones de movimiento de Hamilton:

$$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{dp_i},\quad \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{dq_i},\quad \dot{Q}_i=\frac{\partial K}{dP_i},\quad \dot{P_i} = -\frac{\partial K}{dQ_i}$$

dónde$K$es el hamiltoniano transformado$K\equiv K(Q,\,P,\,t)$.

Para realizar la transformación canónica, podemos introducir la función$F=F_1$, dónde

$$P_i \dot{Q}_i-K+\frac{dF_1}{dt}=p_i \dot{q}_i-H$$

o podemos presentar$F=F_2-Q_iP_i$, y así tenemos

$$-\dot{P}_i Q_i-K+\frac{dF_2}{dt}=p_i \dot{q}_i-H$$

De manera similar para las funciones generadoras de$F_3$y$F_4$.

Ahora que entendemos sus diferencias, tenemos que preguntarnos cómo los usamos. Lo que usas se basa en lo que sabes. si quiero encontrar$F_1$, integro$p_i$con respecto a$q_i$y$-P_i$con respecto a$Q_i$y combine el resultado para encontrar el valor total de$F_1$. Se sigue un proceso similar para las identidades de$F_2$,$F_3$, y$F_4$. Ahora bien, si tengo el problema opuesto, es decir, tengo$F_1$, y quiero encontrar las coordenadas y/o momentos, luego tomo el parcial con respecto a$q_i$encontrar$p_i$y el parcial con respecto a$Q_i$, toma el negativo, y encuentro$P_i$.

Si entiendo tu pregunta correctamente, tienes un conjunto de$Q$'arena$P$'s, y quieres encontrar$F$. Puedes elegir lo que sea$F$que desee, solo necesita cambiar la definición de la función generadora como se indicó anteriormente.

Espero que esto ayude. Estas diapositivas también pueden ser de ayuda: http://users.physics.harvard.edu/~morii/phys151/lectures/Lecture20.pdf