Orden de matrices en ecuaciones de Dirac

La traza de la matriz es siempre la suma de sus valores propios, que se puede ver si tu ^ transforma la matriz α i en su forma diagonal.

( A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A norte ) = tu ^ α i tu ^ − 1 = t r α i tu ^ tu ^ − 1 = t r α i
Por lo tanto, podemos decir que el orden de las matrices debe ser par.

También tenemos los siguientes requisitos de las ecuaciones de dirac

( α i α j + α j α i ) = 2 d i j I

{ α i , α i } = 2 d i j I

( α i β + β α i ) = 0

Ahora, ¿cómo podemos probar que α y β Cuáles son las matrices de 4*4? Por favor, no te saltes demasiado.

Comienza su pregunta enumerando algunos datos sobre matrices, que en realidad no tienen nada que ver con su pregunta. ¿Por qué?
@user1504: Porque tienen que ver con la pregunta.

Respuestas (1)

No puedes probarlo, porque no es cierto. Dada cualquier matriz de 4 por 4 que satisfaga el álgebra de Dirac, puede hacer matrices de 8 por 8 γ i que son iguales a las matrices de cuatro por cuatro en su diagonal superior, y también iguales a lo mismo en la diagonal inferior. El objetivo es buscar la representación dimensional más baja, las matrices más pequeñas posibles. En este estúpido truco, los 4 componentes superiores del espinor se transforman exactamente igual que los 4 componentes inferiores, lo que significa que puedes reducir la representación igualando los componentes superior e inferior. Estás buscando una representación irreducible, lo que significa que no puedes hacer eso.

Para comprender el tamaño de las matrices de Dirac de representación dimensional más baja, hay un buen truco descrito en un artículo de Scherk que hace esto para dimensiones arbitrarias. En la firma euclidiana, cree dimensiones complejas a partir de pares de dimensiones reales

z 1 = X 1 + i X 2
z 2 = X 3 + i X 4

y luego combine linealmente las matrices de Dirac como lo indica este cambio de coordenadas:

γ 1 ′ = γ 1 + i γ 2
γ 2 ′ = γ 3 + i γ 4

Entonces el γ álgebra en términos de la nueva γ ′ matrices y sus conjugados se convierte en los operadores ascendentes y descendentes fermiónicos conmutantes. Estos tienen una representación mínima que comienza por definir el estado | 0 > que es aniquilado por todos los operadores de descenso, y luego actuando los operadores de aumento como máximo una vez, para producir estados. esto produce 2 norte diferentes estados, donde n es la dimensión dividida por 2, y este es el punto de partida básico, ignorando tres complicaciones molestas.

Estos estados producidos al subir y bajar le dan la dimensión del espinor (ignorando las dos complicaciones) Este punto de partida le dice que el álgebra de Dirac debería estar representada por 4 por 4 matrices en 4d, por 8 por 8 matrices en 6d, por 16 por 16 en 8d, 32 por 32 en 10d. Dos a la potencia de la mitad de las dimensiones.

Las tres complicaciones molestas son: dimensiones impares, fermiones de Weyl y fermiones de Majorana, cada uno de los cuales es una discusión separada no tan larga, pero puede ver qué tan grandes se supone que son las matrices de Dirac del argumento anterior, al menos aproximadamente, y usted puede descifrar las formas útiles en 2d, 3d y 4d simplemente jugando, como hicieron Pauli, Dirac, Weyl y Majorana. La generalización a dimensiones más altas para la teoría de cuerdas es la única vez que necesita ser sistemático al respecto, por lo que no se discute bien fuera de la literatura de teoría de cuerdas.

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