¿Por qué el orden más bajo de matrices en la ecuación de Dirac son matrices de 4x4? [duplicar]

No es una prueba, pero al menos un poco de gusto.

Para$3$espacio dimensional (sin tiempo), una representación del$3$matrices gamma$\gamma^i$($i =1,2,3$) son simplemente los$2*2$Matrices de Pauli$\sigma^i$verificando: {$\gamma^i, \gamma^i$}$= 2 \delta_{ij}$. Entonces, para un espacio con$3$dimensiones espaciales, una$2*2$es posible la representación de las matrices gamma.

Ahora, por un$3+1$espacio-tiempo, se podría pensar en añadir un$4th$ $2*2$matriz gamma$\gamma^0$, que debe verificar$(\gamma^0)^2=-2 ~\mathbb Id$y {$\gamma^0, \gamma^i$}$= 0$.

Escribiendo explícitamente estas ecuaciones para el$4$componentes de$\gamma^0$, y encontrarás que$\gamma^0=0$, por lo que es un gusto que no hay suficiente lugar en$2*2$matrices, para la representación de las matrices gamma en$(3+1)$dimensiones.

El espacio de estado de un spin-$1/2$partícula es el espacio de Hilbert complejo bidimensional$\mathbb{C}^2$. Cualquier hamiltoniano que actúe sobre este espacio de estados es necesariamente un$2\times 2$matriz. El álgebra de observables en el espacio de estado de un spin-$1/2$partícula es generada por los operadores de subida y bajada (así como la$2\times 2$matriz identidad) que a su vez son generadas por los operadores de Pauli .

Ahora el$\gamma$Las matrices en la ecuación de Dirac se pueden escribir en términos de matrices diagonales de bloques con bloques que consisten en los operadores de Pauli. Vea aquí para algunos detalles. Esto entonces explica dos hechos simultáneamente: (1) El orden es necesariamente par. (2) El orden más bajo es$4$.