Representaciones de momento en mecánica cuántica

¿Por qué obtenemos información sobre la posición y el momento cuando vamos a diferentes representaciones? ¿Por qué el impulso, que estaba relacionado con el tiempo derivado de la posición en la física clásica, ahora en QM es solo una representación diferente provocada por alguna transformación unitaria? ¿Es el teorema de Ehrenfest el único vínculo?

Acabo de empezar a estudiar QM. Por lo tanto, sugiera algunas referencias que expliquen los aspectos estructurales y las diferentes conexiones. No quiero comenzar con la geometría no conmutativa. Me gustaría algo de carácter introductorio y motivador.

Respuestas (2)

Puede obtener información para todos los observables en cualquier representación. La razón para ir a diferentes es que es más fácil trabajar con ellos dependiendo de lo que estés haciendo. Todos son equivalentes por el teorema de Stone-von Neumann, por lo que es una cuestión de conveniencia.

Hay un teorema (matemático) que dice a grandes rasgos que para cualquier operador, que es de interés en QM, hay una representación del operador como un operador de multiplicación, en él actúa como una multiplicación por una función. En el espacio de coordenadas, los operadores de posición son la multiplicación por las coordenadas. En el espacio de cantidad de movimiento, es la cantidad de movimiento la que se representa como una multiplicación. Es cierto para cualquiera de los observables QM. Desafortunadamente (o afortunadamente) dado que no viajan diariamente, no hay una sola representación para todos ellos. Por lo tanto, la gente usa más de uno.

Editar: En respuesta al comentario. Esto probablemente esté escrito en muchos libros, pero aquí hay una referencia. Mire la "Teoría cuántica de campos. Una guía turística para matemáticos" de Folland. La primera sección del capítulo 3 brinda una buena motivación para el uso de operadores autoadjuntos para modelar observables QM.

En aras de la exhaustividad, el teorema se llama teorema espectral y es bastante técnico para los operadores generales, pero básicamente es solo una diagonalización del operador en la "base" de los "vectores propios" (comillas de advertencia porque los operadores en espacios de dimensión infinita no necesitan tener valores propios o vectores propios).
Puede ser que no haya sido claro en mi pregunta. Debería haber pedido alguna justificación de los operadores autoadjuntos como observables. Puede decir que queremos valores propios reales, etc. Pero, ¿por qué asumimos que los valores propios son un conjunto de valores observados? ¿Es necesario este marco? Quiero decir, ¿podemos deducir que es necesario tratar con operadores lineales, valores propios de algunos supuestos ... Y mi problema con respecto al momento fue por qué la representación de Fourier está relacionada con el momento que fue derivado en algún momento en Classical Física.
@Ket: En este caso, no entendí bien tu pregunta. Puede analizar un O observable a través de preguntas de verdadero o falso de la forma "¿Está el valor de O en el conjunto E?" para Borel establece E en R . Esto conduce a medidas con valor de proyección sobre R . Luego, el teorema espectral (nuevamente) proporciona las conexiones a los operadores autoadjuntos. Encuentro esto natural, pero eso es subjetivo. Escribir esto en detalle sería más que un comentario y como dije entendí tu pregunta de manera diferente.

Estimado Ket, el impulso en QM no es "solo una representación diferente provocada por alguna transformación unitaria". Como probablemente ya sepa, un estado físico en la mecánica cuántica no puede tener simultáneamente un valor bien definido (agudo) de momento y posición; este es el principio de incertidumbre de Heisenberg. Sin embargo, aún puede medir los valores esperados tanto del impulso como de la posición en el mismo estado. Es en el nivel de los valores esperados que el momento y la posición satisfacen exactamente la misma relación que en la física clásica; este es el teorema de Ehrenfest.

Cuando hablas de representaciones y transformaciones unitarias, probablemente te refieres a la elección de la base en el espacio de estados físicos de Hilbert. Pero esto es meramente una herramienta matemática: para poder trabajar con vectores del espacio de Hilbert, conviene elegir una base y trabajar con las coordenadas en esta base en lugar de los vectores abstractos. Si elige la base de estados propios del operador de posición, las "coordenadas" serán lo que se llama la función de onda. Pero también puede elegir cualquier otra base. Puede trabajar en representación de momento, correspondiente a la base de estados propios del operador de momento, que de hecho está relacionado con la representación de coordenadas por una transformación unitaria (llamada transformada de Fourier en matemáticas). Esto se debe a que ambas bases son ortogonales, formado por estados propios de operadores autoadjuntos (hermitianos). Sin embargo, también puedes usarcualquier base, no relacionada con ningún operador de un observable. Lo que es físico son los valores esperados de los observables (que son independientes de la elección de la base) y las relaciones entre ellos, que son a través del teorema de Ehrenfest equivalentes a las ecuaciones clásicas de movimiento.

Solo dos detalles: 1) esas "bases" no son del todo bases y sus vectores ni siquiera pertenecen al espacio de Hilbert. Creo que vale la pena señalar esto a alguien que recién comienza con QM, aunque solo sea como una curiosidad a tener en cuenta; 2) que estas (y otras) representaciones funcionen tan bien es una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann que garantiza que estas (y otras) representaciones son unitariamente equivalentes. Este teorema, por supuesto, falla si se eliminan algunos supuestos y conduce a interesantes posibilidades de vacío no equivalente, etc.
Entiendo que el teorema de Ehrenfest relaciona los valores esperados... Pero mi problema era entender la necesidad en el marco con operadores y sus valores propios que representan observables físicos, valores... qué requisitos impusieron la necesidad... y por qué los resultados clásicos salen como el relaciones de valores esperados... Y con respecto al impulso, ¿por qué la transformada de Fourier está relacionada con el impulso? Todo está bien si solo sigo el enfoque axiomático, todo mi problema era comprender las conexiones de la física clásica a la cuántica.
@Ket: ¿te sientes cómodo con la mecánica hamiltoniana? Es un formalismo que se parece mucho a la mecánica cuántica. La única diferencia es que los observables (que son solo funciones en el espacio de fase) allí conmutan. Pero en física cuántica necesitamos la no conmutatividad (debido a HUP), por lo que reemplazamos el álgebra de funciones (que es conmutativa) con un álgebra de operadores que (que no necesita serlo). Pero salvo este "detalle", todo sigue igual.
@Marek: Sí, he tratado de estudiar un poco de geometría simpléctica. Entonces dices que HUP dicta un álgebra no conmutativa de observables. Gracias por eso. Eso parece responder a mi problema. Lo pensaré. Muchas gracias una vez más .
@Marek: Por supuesto, sé de estos pequeños detalles. Parece que no estamos de acuerdo sobre si es importante mencionarlos a alguien que acaba de empezar a estudiar QM :) @Ket: Cuando mides un observable en un estado físico, obtendrás resultados diferentes con ciertas probabilidades. El valor esperado es solo el promedio estadístico de estos valores. En algunos estados siempre obtienes el mismo resultado, con probabilidad uno. El operador del observable se construye naturalmente de modo que estos estados sean sus estados propios (y los valores correspondientes del observable los valores propios).
@Ket: solo un comentario sobre el comentario de Marek sobre la analogía de la mecánica clásica y cuántica. Si considera la operación del corchete de Piosson en lugar de la multiplicación para las funciones en el caso clásico, entonces no necesitan conmutar. De hecho, satisfacen relaciones de conmutación muy similares a las de la mecánica cuántica.
@Tomáš: Sé que lo sabes :) Pero pensé que mencionarlo no hace daño. @MBN: buen punto, pero tendría cuidado al decir que las funciones son conmutativas. A menos que se aclare explícitamente que quiere decir en el sentido de Poisson, seguramente creará confusión. Es mejor reservar la no conmutatividad solo para el caso cuántico (en el espíritu de la geometría no conmutativa, las deformaciones cuánticas, los grupos cuánticos, etc.).
@Marek: ¿Puede decirme cómo HUP genera exactamente la necesidad de observables no conmutativos? En primer lugar, ¿qué quiere decir con HUP cuando no está en el marco de QM?
@Ket: tal vez esa fue una declaración un poco fuerte. En realidad, no tengo pruebas de que para incorporar HUP necesite observables no conmutativos. Sin embargo, una vez que introduces la no conmutatividad, es una consecuencia inevitable que ciertos observables no puedan medirse conjuntamente con una precisión infinita. En cuanto a qué quiero decir con HUP: me refiero a la observación experimental sobre la imposibilidad de alcanzar una precisión infinita en la medición de observables incompatibles. Necesita un marco solo si quiere entenderlo como consecuencia de otra cosa (en el caso de QM, como consecuencia de la no conmutatividad).
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