¿La relación de conmutación canónica se relaciona con el hecho de que el impulso es el generador de traslaciones espaciales?

Genéricamente, dados dos operadores autoadjuntos$A,B$, la transformación de$A$bajo la transformación unitaria$U_B(t) := \mathrm{e}^{\mathrm{i}Bt}$con parámetro$t$generado por$B$a través del teorema de Stone se da para central$[X,Y]$por una forma de la fórmula BCH :

$$U_B(t)AU_B(t)^\dagger = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Bt}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Bt} = A + [B,A]t$$ es decir, transformar$A$por$B$solo cambia$A$por el conmutador de los dos, e incluso si el conmutador no es central, esto sigue siendo válido para infinitesimal$t$. Esta es la versión cuántica del enunciado clásico de que el corchete de Poisson de dos funciones en el espacio de fases da el desplazamiento infinitesimal de una por la transformación generada por la otra, cf. esta respuesta mia .

En el caso de$x$y$p$, el conmutador es la unidad, por lo que la transformación con el parámetro$t$solo cambia un observable por$t$. Es decir, la relación de conmutación es de hecho la versión mecánica cuántica de la afirmación de que el operador de posición genera traslaciones en la cantidad de movimiento, y la cantidad de movimiento genera traslaciones en la posición.

Por el contrario, saber que el operador de traslación está infinitesimalmente dado por el operador de momento permite deducir la forma del operador de momento si la representación del operador de posición es fija, consulte esta pregunta . Es esencialmente el contenido del teorema de Stone-von Neumann que las relaciones de conmutación entre posición y cantidad de movimiento (o más bien su forma exponencial, la relación de Weyl entre la traslación en posición y la traslación en cantidad de movimiento) son únicas (hasta que la relación de conmutación conserva el isomorfismo unitario ) fija los propios operadores.

Sí, hay una conexión profunda. Supongamos que solo me dices eso$P$es el generador de la traducción. Entonces sé que todos los estados de posición$|r\rangle$se puede obtener como

$$|x\rangle=\exp(iP\cdot x)|0\rangle$$ Esto se puede utilizar para determinar la acción de $P$en un estado propio de posición. $$P|x\rangle=P\exp(iP\cdot x)|0\rangle=(-i\nabla_x)\exp(iP\cdot x)|0\rangle=(-i\nabla_x)|x\rangle$$ Con esto puedo determinar la relación de conmutación para cada estado de posición $$[X,P]|x\rangle=XP|x\rangle-PX|x\rangle=X(-i\nabla_x)|x\rangle-(-i\nabla_x)X|x\rangle=i|x\rangle$$ Finalmente sabemos que cualquier estado puede expresarse como una superposición de estados de posición de modo que $$[X,P]|\psi\rangle=[X,P]\sum_x \psi(x)|x\rangle=i|\psi\rangle$$ cierto para cualquier estado $|\psi\rangle$con función de onda $\psi(x)$. Puede restaurar la $\hbar$en todas partes para hacer que las unidades funcionen.

Supongamos que hay un estado normalizado$|s>$dónde$<s|s>=1$. El valor esperado de su posición es

$$x_0=<s|X|s>$$

Si el objeto |s> se traduce por$x$, el nuevo estado es$e^{-\frac{ixP}{\hbar}}|s>$, y el valor esperado$x_{new}$de su posición es

$$x_{new}=<s|e^{\frac{ixP}{\hbar}}Xe^{-\frac{ixP}{\hbar}}|s>$$ Luego, usando la fórmula BCH (que solo expande los exponenciales y recopila términos) $$x_{new}=<s|X+[\frac{ixP}{\hbar},X]+\frac{1}{2!}[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},X]]+\frac{1}{3!}[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},[\frac{ixP}{\hbar},X]]]+...|s>$$ Ahora sustituye en $[P,X]=-i\hbar$y observe que los conmutadores múltiples de orden superior tienen una constante y, por lo tanto, son cero. $$x_{new}=<s|X+x+0+0+...|s>$$ $$x_{new}=x_0+x$$ Como se anuncia, el operador de traducción $e^{-\frac{ixP}{\hbar}}$con la relación de conmutación canónica $[X,P]=i\hbar$movió el estado para que su nuevo valor esperado de posición aumentara en $x$. El generador de la transformación (es decir: el operador en el exponente) es P, por lo que se denomina generador de traslación.