En la mecánica cuántica no relativista, ¿son posibles diferentes operadores como candidatos para el operador de cantidad de movimiento, dado que se ha fijado un operador de posición y un espacio de Hilbert sobre el que actúa este operador de posición?
Si elijo el espacio de Hilbert para que sea el espacio de funciones cuadradas integrables, y el operador de posición para que sea , entonces la elección habitual para el operador de cantidad de movimiento es . Sin embargo, hay otras opciones que también satisfarían las relaciones de conmutación:
Con una función arbitraria también satisfaría las relaciones de conmutación. ¿Existe algún tipo de "libertad de calibre" que se solucione eligiendo , o hay supuestos adicionales que tiene que satisfacer?
EDITAR Leí en otras respuestas que el operador de impulso tiene que generar traducciones, y esta respuesta menciona que la propiedad de ser el generador de traducciones está vinculada a la propiedad de la relación de conmutación. Sin embargo, también establece que la elección del operador de cantidad de movimiento es una elección única. ¿Me estoy perdiendo de algo? Si se cumplen los ccr, entonces se puede usar la fórmula dada de un desplazamiento unitario del operador de posición, lo que da como resultado dicha traducción.
Las relaciones canónicas de conmutación en la forma de álgebra de Lie no generan necesariamente el grupo de Heisenberg, y por lo tanto en esa forma no hay resultado de unicidad.
Hay contraejemplos explícitos de operadores autoadjuntos densamente definidos, con un núcleo común en el que satisfacen el CCR en la forma de álgebra de Lie, que no generan el grupo de Heisenberg. Es posible encontrar un ejemplo de este tipo en el libro de Reed y Simon, por ejemplo.
Los contraejemplos son más complicados que el sugerido por el OP, porque ambos operadores deben ser autoadjuntos (para ser observables físicamente relevantes), con un núcleo común en el que se satisfagan los CCR.
Hay en cambio unicidad, hasta homomorfismos de grupo (unitario), de las representaciones irreducibles del grupo de Heisenberg, es decir, de la versión exponencial del CCR. En otras palabras, si uno requiere el CCR en forma exponencial (las llamadas relaciones de Weyl) y fija uno de los dos generadores (por ejemplo, el operador de posición), entonces el otro se determina de manera única. Este resultado de unicidad se llama teorema de unicidad de Stone-von Neumann (y es un caso particular de los sistemas de imprimitividad de Mackey).
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