Representación integral de ruta de ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Question

Representación integral de ruta de ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Anónimo

¿Cómo calculo la representación integral de trayectoria de $\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle$ dónde $t_i<t_1<t_f$ ? Estoy haciendo esto discretizando los intervalos de tiempo y agregando un conjunto completo de $|q_j t_j\rangle$ estados en cada punto, luego en el momento $t_1$ , uno puede agregar $p(t_1)|p^{\prime} t_1\rangle \langle p^{\prime} t_1|$ , que es el momento de la partícula en el momento $t_1$ . Después de tomar el producto interno con el estado de posición en el momento $t_1$ , e integrando obtengo

\frac{1}{h} \int D (q) D (pag) \int d {pag}^{'} \frac{{pag}^{'^{2}}}{2 metro} mi X pag (- \frac{i}{ℏ} q_{t_{1} - 1} {pag}^{'} - (t_{F} - t_{i}) H ({pag}^{'}, (\frac{q_{t_{1} - 1} + q_{t_{1}}}{2}))) mi X pag (\frac{i}{ℏ} S)

$\frac{1}{h} \int \mathcal{D(q)} \mathcal{D(p)} \int dp^{\prime} \frac{p^{\prime^2}}{2m} exp(-\frac{i}{\hbar}q_{t_1-1}p^{\prime}-(t_f-t_i)H(p^{\prime}, (\frac{q_{t_1-1}+q_{t_1}}{2})))exp(\frac{i}{\hbar}S)$

Esto se ve terriblemente feo y mal. ¿Cómo lo hago?

qmecanico

Comentario a la pregunta (v2): Vuelva a verificar su fórmula.

Trimok

Le sugiero que reescriba su expresión inicial como:

⟨ q_{f} | e^{- i H (t_{f} - t_{1})} \hat{p} (t_{1}) e^{- i H (t_{1} - t_{i})} | q_{i} ⟩

$\langle q_f | e^{-i H(t_f - t_1)} \, \hat p(t_1) \, e^{-i H(t_1 -t_i)}|q_i\rangle$

Respuestas (1)

Representación integral de ruta de ⟨qftf|p(t1)|qiti⟩⟨qftf|p(t1)|qiti⟩\langle q_f t_f|p(t_1)|q_i t_i\rangle

Comentario a la pregunta (v2): Vuelva a verificar su fórmula.
Le sugiero que reescriba su expresión inicial como: $\langle q_f | e^{-i H(t_f - t_1)} \, \hat p(t_1) \, e^{-i H(t_1 -t_i)}|q_i\rangle$

usuario1504 · Answer 1

Hacer la integral de trayectoria con esas condiciones de contorno y un término fuente adicional $S = \int_{t_0}^{t_1} q(t) j(t)dt$ . Esta es una integral gaussiana y completamente factible (aunque debe tener un poco de cuidado con las condiciones de contorno). Entonces usa $Z(j)$ como un generador funcional: Diferencie $Z(j)$ con respecto a la 'dirección de coordenadas' $j \mapsto j(t_1)$ , y luego establecer $j=0$ . Esto derriba el $p(t_1)$ tú querías.

¿Quiere decir añadir el término $\int q(t)j(t)$ ?, no veo como diferenciar con $j$ , derribaría $p(t_1)$ ?
Sí. ¡Lo siento! También puedes simplemente hacer el cociente de diferencias en la red.

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