¿Cómo actúan los operadores de aniquilación y creación sobre los fermiones?

Question

¿Cómo actúan los operadores de aniquilación y creación sobre los fermiones?

mikkel rev

Estoy tomando un curso de introducción a QFT. Durante la cuantización del campo de Dirac, mi libro de texto brinda mucha información sobre cómo actúan los operadores de aniquilación y creación en el vacío, pero nada sobre cómo actúan en los estados que no son de vacío. los necesito para calcular

\int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \sum_{s} ({a_{\vec{pag}}^{s}}^{†} a_{\vec{pag}}^{s} - {b_{\vec{pag}}^{s}}^{†} b_{\vec{pag}}^{s}) | \vec{k}, s ⟩,

$\int \frac{\mathrm d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s \left( {a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}} - {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} \right) |\vec{k},s \rangle,$ dónde

{a_{\vec{p}}^{s}}^{†}, {b_{\vec{p}}^{s}}^{†}

${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger$ son el operador de creación para fermiones y anti-fermiones respectivamente y

a_{\vec{p}}^{s}, b_{\vec{p}}^{s}

${a^s_ {{\vec{p}}}},{b^s_ {{\vec{p}}}}$ son los operadores de aniquilación de fermiones y antifermiones respectivamente. He buscado en Google, pero no pude encontrar nada después de aproximadamente 1 hora de búsqueda.

¿Puedes decirme cómo ${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {a^s_ {{\vec{p}}}},{b^s_ {{\vec{p}}}}$ actuar en estados que no son de vacío?

Respuestas (4)

¿Cómo actúan los operadores de aniquilación y creación sobre los fermiones?

flippiefanus · Answer 1

El procedimiento básico es el siguiente:

a_{r} (k_{1}) | k_{2}, s ⟩ = a_{r} (k_{1}) a_{s}^{†} (k_{2}) | 0 ⟩ = {a_{r} (k_{1}), a_{s}^{†} (k_{2})} | 0 ⟩ = | 0 ⟩ (2 π)^{2} ω_{1} d (k_{1} - k_{2}) d_{r s},

$a_r(\mathbf{k}_1) |\mathbf{k}_2,s\rangle = a_r(\mathbf{k}_1) a_s^{\dagger}(\mathbf{k}_2) |0\rangle = \{a_r(\mathbf{k}_1), a_s^{\dagger}(\mathbf{k}_2) \}|0\rangle = |0\rangle (2\pi)^2\omega_1 \delta(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2) \delta_{rs} ,$ dónde

| k_{2}, s ⟩

$|\mathbf{k}_2,s\rangle$ se supone que es un estado de fermión. Para un estado anti-fermión se usaría el

b

$b$ -operadores, en cambio. La razón por la que uno puede expresar esto en términos del anticonmutador es porque

a_{r} (k_{1}) | 0 ⟩ = 0

$a_r(\mathbf{k}_1) |0\rangle = 0$ . El detalle de la expresión final depende de la relación de anticonmutación particular que utilice. Aquí he usado una versión convariante de Lorentz.

Gracias, ¿tú también puedes explicar cómo? $b_r(\vec{k}_1)$ , $b_r^\dagger(\vec{k}_1)$ y $a_r^\dagger(\vec{k}_1)$ actúa sobre $| \vec{k}_2,s\rangle$ o simplemente decir el resultado? Gracias
Y añadir $b_r^\dagger(\vec{k}) | 0 \rangle$ ¿por completitud? :)
Tal vez pueda agregar en su pregunta las definiciones de $a_s(\mathbf{k})$ , $b_s(\mathbf{k})$ , etc.
Gracias por su respuesta. Agregué las definiciones según lo solicitado.

charlie · Answer 2

Si necesitas calcular

\int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \sum_{s} ({a_{\vec{pag}}^{s}}^{†} a_{\vec{pag}}^{s} - {b_{\vec{pag}}^{s}}^{†} b_{\vec{pag}}^{s}) | \vec{k}, r ⟩,

$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s ( {a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}} - {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} ) |\vec{k},r \rangle,$ necesitará

{a_{\vec{p}}^{s}}^{†} a_{\vec{p}}^{s} | \vec{k}, r ⟩

${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}}|\vec{k},r \rangle$ y

{b_{\vec{p}}^{s}}^{†} b_{\vec{p}}^{s} | \vec{k}, r ⟩

${b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} |\vec{k},r \rangle$ . Dado que está tratando con campos de Dirac, los obtiene utilizando las relaciones anticonmutación (con los factores de normalización adecuados, y no sé qué convención está utilizando):

{a_{\vec{pag}}^{s}, {a_{\vec{q}}^{r}}^{†}} = d_{s r} d (\vec{pag} - \vec{q}), {b_{\vec{pag}}^{s}, {b_{\vec{q}}^{r}}^{†}} = d_{s r} d (\vec{pag} - \vec{q}), {a_{\vec{pag}}^{s}, {b_{\vec{q}}^{r}}^{†}} = {b_{\vec{pag}}^{s}, {a_{\vec{q}}^{r}}^{†}} = 0.

$\{{a^s_ {{\vec{p}}}},{a^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\delta_{sr}\delta(\vec{p}-\vec{q}),\\ \{{b^s_ {{\vec{p}}}},{b^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\delta_{sr}\delta(\vec{p}-\vec{q}),\\ \{{a^s_ {{\vec{p}}}},{b^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\{{b^s_ {{\vec{p}}}},{a^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=0.\\$ y sabiendo que

a_{\vec{p}}^{s} | 0 ⟩ = b_{\vec{p}}^{s} | 0 ⟩ = 0

${a^s_ {{\vec{p}}}}|0\rangle={b^s_ {{\vec{p}}}}|0\rangle=0$ .

Sigue la respuesta con el mismo procedimiento que usó @flippiefanus.

Nogueira · Answer 3

Todo lo que necesita son las relaciones de (anti-)conmutación y las definiciones de los estados en términos de operadores de creación que actúan en el estado de vacío.

por ejemplo, un estado $|\psi\rangle$ de dos partículas:

C_{k} | ψ ⟩ = C_{k} (\sum_{i < j} ψ_{i j} | i, j ⟩) = \sum_{i < j} ψ_{i j} C_{k} C_{i}^{†} C_{j}^{†} | 0 ⟩

$c_k|\psi\rangle =c_k\left(\sum_{i<j}\psi_{ij}|i,j\rangle\right)= \sum_{i<j}\psi_{ij}c_k c_i^{\dagger}c_j^{\dagger}|0\rangle$

luego viaja $c_k$ con $c_i^{\dagger}$ y $c_j^{\dagger}$ hasta alcanzar el estado de vacío y aniquilarlo.

\sum_{i < j} ψ_{i j} ({[C_{k}, C_{i}^{†}]}_{+} - C_{i}^{†} C_{k}) C_{j}^{†} | 0 ⟩ = \sum_{i < j} ψ_{i j} ({[C_{k}, C_{i}^{†}]}_{+} C_{j}^{†} - C_{i}^{†} {[C_{k}, C_{j}^{†}]}_{+}) | 0 ⟩ = \sum_{i < j} ψ_{i j} ({[C_{k}, C_{i}^{†}]}_{+} | j ⟩ - {[C_{k}, C_{j}^{†}]}_{+} | i ⟩)

$\sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+ - c_i^{\dagger}c_k\right) c_j^{\dagger}|0\rangle=\sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+c_j^{\dagger} - c_i^{\dagger} \left[ c_k ,\, c_j^{\dagger}\right]_+ \right) |0\rangle = \sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+|j\rangle - \left[ c_k ,\, c_j^{\dagger}\right]_+ |i\rangle \right)$

Herr_Mitesch · Answer 4

Resultado: lo único que realmente necesitará para este cálculo es la definición de estados de una (anti) partícula (que se proporciona a continuación) y la aplicación de operadores de aniquilación en ellos, dados por

a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1}} | {\vec{pag}}_{2}, s_{2}; 0, 0 ⟩ = d_{s_{1}, s_{2}} d^{3} ({\vec{pag}}_{1} - {\vec{pag}}_{2}) | 0 ⟩, b_{{\vec{q}}_{1}}^{r_{1}} | 0, 0; {\vec{q}}_{2}, r_{2} ⟩ = d_{r_{1}, r_{2}} d^{3} ({\vec{q}}_{1} - {\vec{q}}_{2}) | 0 ⟩ .

$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle =\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle,\\b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle.\\\\$

Derivación: estaba preguntando por la acción de los operadores de creación y aniquilación en estados de una partícula, dada por

| \vec{pag}, s; \vec{0}, 0 ⟩ = a_{\vec{pag}}^{s †} | 0 ⟩ | 0, 0; \vec{pag}, s ⟩ = b_{\vec{pag}}^{s †} | 0 ⟩ .

$|\vec p, s; \vec 0, 0\rangle = a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ |0,0;\vec p, s\rangle = b_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle.$

Tiene sentido definir también los siguientes estados de dos partículas, que solo son distintos de cero si nuevamente todos ${\vec p_i, s_i}$ y ${\vec q_j, s_j}$ son respectivamente distintos.

| \vec{pag}, s; \vec{q}, r ⟩ = \frac{1}{2} (a_{\vec{pag}}^{s †} b_{\vec{q}}^{r †} - b_{\vec{q}}^{r †} a_{\vec{pag}}^{s †}) | 0 ⟩ | {\vec{pag}}_{1}, s_{1}, {\vec{pag}}_{2}, s_{2}; \vec{0}, 0 ⟩ = \frac{1}{2} (a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1} †} a_{{\vec{pag}}_{2}}^{s_{2} †} - a_{{\vec{pag}}_{2}}^{s_{2} †} a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1} †}) | 0 ⟩ | \vec{0}, 0; {\vec{q}}_{1}, r_{1}, {\vec{q}}_{2}, r_{2} ⟩ = \frac{1}{2} (b_{{\vec{q}}_{1}}^{r_{1} †} b_{{\vec{q}}_{2}}^{r_{2} †} - b_{{\vec{q}}_{2}}^{r_{2} †} b_{{\vec{q}}_{1}}^{r_{1} †}) | 0 ⟩

$|\vec p, s; \vec q, r\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}}^{s\dagger}b_{\vec{q}}^{r\dagger}-b_{\vec{q}}^{r\dagger}a_{\vec{p}}^{s\dagger}\right)|0\rangle\\ |\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2;\vec 0,0\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}-a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}\right)|0\rangle\\|\vec 0,0;\vec q_1, r_1, \vec q_2, r_2\rangle = \frac{1}{2}\left(b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}-b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}\right)|0\rangle$ donde simplemente decidimos usar una definición (anti)simétrica: está claro que usando las relaciones de anticonmutación apropiadas, todos esos estados se pueden escribir sin la diferencia de dos términos.

Ahora, para encontrar la acción de esos operadores vamos a usar las relaciones de anticonmutación mencionadas

{a_{\vec{pag}}^{s}, a_{\vec{q}}^{r}} = 0 {a_{\vec{pag}}^{s †}, a_{\vec{q}}^{r †}} = 0 {a_{\vec{pag}}^{s}, a_{\vec{q}}^{r †}} = d^{r s} d^{3} (\vec{pag} - \vec{q})

$\{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^r\}=0 \qquad \{a_{\vec p}^{s\dagger}, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=0\\ \{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=\delta^{rs} \delta^3(\vec p - \vec q)$ y similares para el

b

$b$ -operadores. Además, cada

b

$b$ anticonmutaciones con cada

a

$a$ .

Tenga en cuenta que los estados anteriores están adecuadamente normalizados, siempre que el vacío $|0\rangle$ es:

⟨ \vec{pag}, s; \vec{0}, 0 | \vec{q}, r; 0, 0 ⟩ = ⟨ 0 | a_{\vec{q}}^{r} a_{\vec{pag}}^{s †} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | {a_{\vec{q}}^{r}, a_{\vec{pag}}^{s †}} | 0 ⟩ = d^{r s} d^{3} (\vec{pag} - \vec{q})

$\langle \vec p, s; \vec 0, 0|\vec q, r; 0, 0\rangle = \langle 0| a_{\vec{q}}^{r}a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ = \langle 0|\{a_{\vec{q}}^{r},a_{\vec{p}}^{s\dagger}\}|0\rangle\\=\delta^{rs} \delta^3(\vec p-\vec q)$ Del hecho de que todas las b y las a son anticonmutables, podemos derivar inmediatamente

b_{\vec{pag}}^{s} | \vec{q}, r; 0, 0 ⟩ = 0, a_{\vec{pag}}^{s} | 0, 0; \vec{q}, r ⟩ = 0.

$b_{\vec p}^s |\vec q, r;0,0\rangle = 0, \\a_{\vec p}^s |0,0;\vec q, r\rangle = 0.$ Además, debido a que los operadores de creación se contrarrestan consigo mismos, tenemos

{(a_{\vec{pag}}^{s †})}^{2} = 0 = {(b_{\vec{pag}}^{s †})}^{2}

$\left(a_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2 = 0 =\left(b_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2$ de modo que

a_{\vec{pag}}^{s †} | \vec{pag}, s; 0, 0 ⟩ = 0 = b_{\vec{pag}}^{s †} | 0, 0; \vec{pag}, s ⟩ .

$a_{\vec p}^{s\dagger} |\vec p, s; 0, 0\rangle = 0 = b_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec p, s\rangle.$ Por supuesto, si actuamos con operadores de creación con diferentes momentos y/o giros en los estados de una partícula, vamos a crear los estados anteriores de dos partículas (y partículas-antipartículas). Podemos combinar esto con la última fórmula de la siguiente manera:

a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1} †} | {\vec{pag}}_{2}, s_{2}; 0, 0 ⟩ = (1 - d_{s_{1}, s_{2}} d_{{\vec{pag}}_{1}, {\vec{pag}}_{2}}) | {\vec{pag}}_{1}, s_{1}, {\vec{pag}}_{2}, s_{2}; 0, 0 ⟩ b_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1} †} | 0, 0; {\vec{pag}}_{2}, s_{2} ⟩ = (1 - d_{s_{1}, s_{2}} d_{{\vec{pag}}_{1}, {\vec{pag}}_{2}}) | 0, 0; {\vec{pag}}_{1}, s_{1}, {\vec{pag}}_{2}, s_{2} ⟩ a_{\vec{pag}}^{s †} | 0, 0; \vec{q}, r ⟩ = | \vec{pag}, s; \vec{q}, r ⟩ b_{\vec{q}}^{r †} | pag, s; 0, 0 ⟩ = - | \vec{pag}, s; \vec{q}, r ⟩

$a_{\vec p_1}^{s_1\dagger} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2; 0,0\rangle\\ b_{\vec p_1}^{s_1\dagger} |0,0;\vec p_2, s_2\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|0,0;\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2\rangle\\ a_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec q, r\rangle = |\vec p, s; \vec q, r\rangle\\ b_{\vec q}^{r\dagger} |p, s;0,0\rangle = -|\vec p, s; \vec q, r\rangle$

Ahora, lo realmente interesante $^{1}$ sucede, si aniquilamos una partícula del estado de una partícula (o una antipartícula del estado de una antipartícula).

a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1}} | {\vec{pag}}_{2}, s_{2}; 0, 0 ⟩ = a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1}} a_{{\vec{pag}}_{2}}^{s_{2} †} | 0 ⟩ = {a_{{\vec{pag}}_{1}}^{s_{1}}, a_{{\vec{pag}}_{2}}^{s_{2} †}} | 0 ⟩ = d_{s_{1}, s_{2}} d^{3} ({\vec{pag}}_{1} - {\vec{pag}}_{2}) | 0 ⟩

$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = a_{\vec p_1}^{s_1}a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}|0\rangle \\=\{a_{\vec p_1}^{s_1}, a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}\}|0\rangle \\=\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle$ y análogamente

b_{{\vec{q}}_{1}}^{r_{1}} | 0, 0; {\vec{q}}_{2}, r_{2} ⟩ = d_{r_{1}, r_{2}} d^{3} ({\vec{q}}_{1} - {\vec{q}}_{2}) | 0 ⟩

$b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle$

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