Un problema con fermiones indistinguibles y el orden de aplicar operadores

Formalizaré mis comentarios en una respuesta e intentaré introducir una notación que pueda evitar algunas de las confusiones en el OP. La forma correcta de pensar en los operadores de creación y aniquilación, los espacios de Fock, etc., es en la representación del número de ocupación, donde escribimos los estados básicos en términos del número de cuantos.$n_i$llevando un valor dado de todos los números cuánticos posibles, denotados colectivamente como$i$. Estos estados se escriben como:

$$\lvert n_a n_b n_c \cdots \rangle = \left(\prod_i \frac{1}{\sqrt{n_i!}} \right)(c_a^\dagger)^{n_a} (c_b^\dagger)^{n_b} (c_c^\dagger)^{n_c} \cdots \lvert 0\rangle. \tag{1}$$ Para los bosones, los números $n_a$puede tomar cualquier valor, en ausencia de otras restricciones. Cuando se trata de fermiones, el principio de Pauli te dice que $n_a = 0,1$para todos los números cuánticos $a, b, c, \ldots$. La simetría de intercambio se aplica definiendo los operadores de escalera para que obedezcan relaciones canónicas (anti-) de conmutación $[c_a,c_b^\dagger] = \delta_{ab}$( $\{c_a,c_b^\dagger\} = \delta_{ab}$). A algunas personas les gusta llamar a esta representación "segunda cuantificación". Difiere de la representación "primera cuantificada", donde uno escribe los estados como $$\lvert n_a n_b n_c \cdots \rangle = \mathcal{S}_\pm \left[\lvert a\rangle^{\otimes n_a} \otimes \lvert b\rangle^{\otimes n_b} \otimes\lvert c\rangle^{\otimes n_c} \otimes \cdots \right], \tag{2}$$ donde cada factor en el producto tensorial corresponde a una partícula distinguida, y por lo tanto aplicamos una operación combinada de (anti-)simetrización y posterior normalización $\mathcal{S}_\pm$para obtener las estadísticas de intercambio correctas para partículas idénticas. La ventaja de la representación (1) sobre la representación (2) se vuelve muy clara tan pronto como intentas escribir cualquier estado de muchos cuerpos que no sea trivial.

Ahora, a la parte principal de la pregunta. La definición de los operadores de Fermi$c_a \lvert 0 \rangle = 0$, combinado con las relaciones canónicas de anticonmutación, implica que estos operadores no simplemente "aniquilan" partículas, a diferencia del caso bosónico. También hay algunos factores de fase complicados que deben ser rastreados cuidadosamente. Esto se soluciona automáticamente utilizando el formulario en el lado derecho de (1). Sin embargo, si insiste en usar el formulario en el lado izquierdo, debería encontrar que

$$c_d\lvert n_a \ldots n_d \ldots \rangle = \delta_{n_d,1}(-1)^{\sum_{i<d} n_i} \lvert n_a \ldots (n_d - 1) \ldots \rangle, \tag{3}$$ dónde $i< d$simplemente significa todos los índices que aparecen a la izquierda de $d$. Puede probar esto fácilmente a partir de la definición en el lado derecho de (1).

Especificando el ejemplo del OP, a uno le gustaría "probar" las relaciones canónicas de anticonmutación (aunque en realidad son parte de la definición de$c_a$), considerando la acción de$\{c_\uparrow,c_\downarrow^\dagger\}$sobre el estado$\lvert \uparrow \rangle = |0_\downarrow 1_\uparrow \rangle$(estas son las representaciones "primera" y "segunda cuantificada", respectivamente). Estas manipulaciones pasarán por los estados intermedios$(\lvert\downarrow \rangle \lvert\uparrow\rangle - \lvert\uparrow \rangle \lvert\downarrow\rangle)/\sqrt{2} = \lvert 1_\downarrow 1_\uparrow \rangle$y$\lvert \downarrow \rangle = |1_\downarrow 0_\uparrow \rangle$. Tenemos

$$c_\uparrow c_\downarrow^\dagger \lvert 0_\downarrow 1_\uparrow \rangle = c_\uparrow|1_\downarrow 1_\uparrow \rangle = -|1_\downarrow 0_\uparrow \rangle,$$ donde en el último paso usamos (3). Por otra parte, uno tiene $$c_\downarrow^\dagger c_\uparrow \lvert 0_\downarrow 1_\uparrow \rangle = c_\downarrow^\dagger \lvert 0_\downarrow 0_\uparrow \rangle = \lvert 1_\downarrow 0_\uparrow \rangle.$$ Por lo tanto, hemos confirmado que $\{c_\uparrow,c_\downarrow^\dagger\} = 0$en este caso.

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\up}{\ket{\uparrow}}\newcommand{\down}{\ket{\downarrow}}$Escribamos su estado inicial como$\psi_0 = a^\dagger_\uparrow\ket{0} = \up$.

Usted afirma que$a_\downarrow^\dagger\psi_0 = \up\down$. Esto es falso, ya que

$$a^\dagger_\downarrow\psi_0 = a_\downarrow^\dagger a_\uparrow^\dagger \ket{0} \overset{\text{CAR}}{=} - a_\uparrow^\dagger a_\downarrow^\dagger \ket{0} = -a^\dagger_\uparrow \down \tag{i}$$

donde escribiríamos la RHS como$\down\up$según tu lógica, pero$\down\up \neq - \up\down$. El estado creado por la acción de$a_\uparrow^\dagger a_\downarrow^\dagger = - a_\downarrow^\dagger a_\uparrow^\dagger$ya es tuyo$\ket{S}$.

Dichos errores continúan a lo largo de la publicación; por ejemplo,$(4)$es una tontería, porque$\ket{0_\uparrow}$no es un estado en absoluto: el estado en el que solo queda un fermión es solo$\up$o$\down$o una combinación lineal de estos. Debe usar la definición adecuada del espacio de Fock en lugar de "intuitivamente" concluir cosas como$(4)$porque "no está claro qué fermión se destruye".$\ket{0_\uparrow}\down$no es un estado en el espacio de Fock. Debe usar el espacio de Fock con las relaciones canónicas (anti-) de conmutación de los creadores y aniquiladores para obtener resultados correctos en una descripción de este tipo "cuantificada en segundo lugar".