¿Se puede descomponer el álgebra de mentira sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) en suma directa de dos sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {R})?

1. Por un lado, como álgebras de Lie reales de 6 dimensiones , tenemos los siguientes isomorfismos

   $$\begin{align}so(4;\mathbb{R})~&\cong~su(2)\oplus su(2),\qquad\qquad\text{(compact form)}\\ so(2,2;\mathbb{R})~&\cong~sl(2,\mathbb{R})\oplus sl(2,\mathbb{R}),\qquad\qquad\text{(split form)}\\ so(3,1;\mathbb{R})~&\cong~sl(2,\mathbb{C}).\qquad\qquad\text{(simple Lie algebra)}\end{align}$$ En particular, la descomposición sugerida por OP (1) no es posible$^1$como álgebras de Lie reales.

2. Por otro lado, como álgebras de Lie complejas de 6 dimensiones , tenemos el siguiente isomorfismo

   $$so(p,q;\mathbb{C})~\cong~sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C}), \qquad p+q~=~4.$$ Consulte también esta y estas publicaciones relacionadas con Phys.SE.

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$^1$De hecho, el álgebra de Lie

es un álgebra de Lie simple , porque cada elemento del álgebra de Lie distinto de cero

es un vector cíclico .

Demostración esbozada : Por transformaciones de semejanza , podemos suponer que$\sigma_0$está en la forma normal de Jordan . Hay dos casos.

1. Caso$\sigma_0= \begin{pmatrix} \lambda &0\cr 0&-\lambda\end{pmatrix}$es diagonal donde$\lambda\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$. Después

   $$[\sigma_0,\sigma]~=~\left[\begin{pmatrix} \lambda &0\cr 0&-\lambda\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&b\cr c&-a\end{pmatrix} \right] ~=~\begin{pmatrix} 0&2\lambda b\cr -2\lambda c&0\end{pmatrix}.$$ En otras palabras, podemos generar todas las matrices fuera de la diagonal. En particular, podemos generar la matriz semilla para el otro caso 2.

2. Caso$\sigma_0= \begin{pmatrix} 0 &1\cr 0&0\end{pmatrix}$es nilpotente. Después

   $$[\sigma_0,\sigma]~=~\left[\begin{pmatrix}0 &1\cr 0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\cr \lambda&0\end{pmatrix} \right] ~=~\begin{pmatrix} \lambda &0\cr 0&-\lambda\end{pmatrix}.$$
   En otras palabras, podemos generar todas las matrices diagonales sin rastro. En particular, podemos generar la matriz semilla para el otro caso 1.

En conjunto podemos generar todas las matrices sin trazas.$\Box$

$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$es de hecho igual a$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}) \oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$. La famosa representación está dada por$L_{-1}$,$L_0$,$L_1$del álgebra de Virasoro para la primera copia de$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{R})$, y por sus conjugaciones$\overline{L}_{-1}$,$\overline{L}_0$,$\overline{L}_1$para el segundo.