¿Cómo actúa el grupo de Lorentz sobre un 4-vector en el formalismo de espinor-helicidad pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Question

¿Cómo actúa el grupo de Lorentz sobre un 4-vector en el formalismo de espinor-helicidad pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Física
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glS

Dado un vector de 4 $p^\mu$ el grupo de Lorentz actúa sobre él en la representación vectorial:

\begin{matrix} (1) & {pag}^{m} ⟶ (j_{V} [Λ])_{v}^{m} {pag}^{v} \equiv Λ_{v}^{m} {pag}^{v} . \end{matrix}

$\tag{1} p^\mu \longrightarrow (J_V[\Lambda])^\mu_{\,\,\nu} p^\nu\equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu} p^\nu.$ Sin embargo, siempre puedo representar un vector de 4

p^{μ}

$p^\mu$ usando índices de espinor zurdos y diestros, escribiendo

\begin{matrix} (2) & {pag}_{α \dot{α}} \equiv σ_{α \dot{α}}^{m} {pag}_{m} . \end{matrix}

$\tag{2} p_{\alpha \dot{\alpha}} \equiv \sigma^\mu_{\alpha \dot{\alpha}} p_\mu.$ Entonces la pregunta es: ¿ en qué representación actúa el grupo de Lorentz sobre $p_{\alpha \dot{\alpha}}$ ?

Hay muchas preguntas sobre esto y temas relacionados con la física.se, con muchas respuestas excelentes, así que permítanme aclarar más específicamente lo que estoy preguntando.

Ya sé que la respuesta a esta pregunta es que la ley de transformación es

\begin{matrix} (3) & {pag}_{α \dot{α}} \to (A pag A^{†})_{α \dot{α}} \end{matrix}

$\tag{3} p_{\alpha \dot{\alpha}} \rightarrow (A p A^\dagger)_{\alpha\dot{\alpha}}$ con

A \in S L (2, C)

$A \in SL(2,\mathbb{C})$ (cómo se menciona, por ejemplo, en esta respuesta de Andrew McAddams ). yo también entiendo que

\begin{matrix} (4) & s o (1, 3) ≅ s yo (2, C), \end{matrix}

$\tag{4} \mathfrak{so}(1,3) \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}),$ (que se explica, por ejemplo, aquí por Edward Hughes, aquí por joshphysics, aquí por Qmechanic).

Entonces, ¿qué falta? No mucho realmente. Dos cosas:

¿Cómo obtengo (3) y cuál es la forma específica de $A$ , es decir, su relación con la representación vectorial $\Lambda^\mu_{\,\,\nu}$ ? Definiendo lo siguiente
$(\tilde{pag}) \equiv {pag}^{m}, Λ \equiv Λ_{v}^{m},$ $(\tilde p) \equiv p^\mu, \qquad \Lambda \equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu},$ $σ \equiv σ_{α \dot{α}}, \hat{pag} \equiv {pag}_{α \dot{α}},$ $\sigma \equiv \sigma_{\alpha \dot \alpha}, \qquad \hat p \equiv p_{\alpha \dot \alpha},$ podemos reescribir (1) y (2) en forma matricial como $\begin{matrix} (5) & \hat{pag} \equiv σ \tilde{pag} \to σ Λ \tilde{pag} = (σ Λ σ^{- 1}) \hat{pag}, \end{matrix}$ $\tag{5} \hat p \equiv \sigma \tilde p \rightarrow \sigma \Lambda \tilde p = ( \sigma \Lambda \sigma^{-1}) \hat p,$ sin embargo, esto no está de acuerdo con (3) que sé que es correcto , entonces, ¿qué tiene de malo mi razonamiento?
¿Por qué la ley de transformación (3) tiene una forma
$\begin{matrix} (6) & A \to {tu}^{- 1} A tu, \end{matrix}$ $\tag{6} A \rightarrow U^{-1} A U,$ mientras que la transformación vectorial habitual (1) tiene una forma $V \rightarrow \Lambda V$ ? Sospecho que esto proviene de una razón similar a la explicada aquí por Prahar, pero agradecería una confirmación al respecto.

Respuestas (1)

¿Cómo actúa el grupo de Lorentz sobre un 4-vector en el formalismo de espinor-helicidad pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

petirrojo · Answer 1

Su ecuación (3) proviene de los siguientes pasos. Primero, un índice punteado se transforma en la representación conjugada compleja de un índice sin puntos. Para un producto tensorial, cada índice se transforma según su propia representación. De este modo

{pag}_{a \dot{a}} \mapsto A_{a b} {\bar{A}}_{\dot{a} \dot{b}} {pag}_{b \dot{b}} = A_{a b} {pag}_{b \dot{b}} A_{\dot{b} \dot{a}}^{†}

$p_{a\dot a} \mapsto A_{ab} \bar A_{\dot a \dot b} p_{b\dot b} = A_{ab} p_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a}$ donde en el lado izquierdo del signo igual tenemos la conjugación compleja por elementos. Poniendo la matriz conjugada a la derecha, tenemos que tomar una transposición para obtener el orden correcto de los índices.

Al razonar sobre (4) y (5) estás descuidando la transformación de $\sigma^\mu_{a\dot a}$ . La descripción correcta de la relación. $p_{a\dot a} = \sigma^\mu_{a\dot a} p_\mu$ es que la representación de 4 vectores es equivalente a la $(\frac 1 2,0)\otimes(0,\frac 1 2)$ representación, mediante la transformación lineal

σ_{a \dot{a}}^{m} : V \to (\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2})

$\sigma^\mu_{a \dot a} : V\to (\frac12,0)\otimes(0,\frac12)$ significa que

σ_{a \dot{a}}^{μ}

$\sigma^\mu_{a\dot a}$ pertenece al espacio

(\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2}) \otimes V^{*}

$(\frac 1 2,0)\otimes (0,\frac12) \otimes V^*$ , sobre la que actúa el (doble cover del) grupo Lorentz. De hecho, actúa como

σ_{a \dot{a}}^{m} \mapsto A_{a \dot{b}} σ_{b \dot{b}}^{v} A_{\dot{b} \dot{a}}^{†} (Λ^{- 1})_{v}^{m}

$\sigma^\mu_{a\dot a} \mapsto A_{a\dot b} \sigma^\nu_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a} (\Lambda^{-1})_\nu^\mu$ de modo que

A_{a \dot{a}}^{μ} p_{μ}

$A^\mu_{a \dot a} p_\mu$ de hecho tiene la ley de transformación correcta.

Muchas gracias, eso definitivamente lo solucionó. Solo una cosa: ¿podría también proporcionar alguna referencia donde pueda encontrar más sobre el tema (particularmente donde pueda encontrar una exposición de las reglas de transformación de $\sigma^\mu_{\,\,\alpha\dot \alpha}$ que citaste)?
Eso $\sigma^\mu_{a \dot a}$ transforms de esa manera está realmente implícito en los índices que tiene, por lo que no sé si está escrito en alguna parte. Mi mejor suposición es Penrose & Rindler, pero no lo he comprobado.

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