Huellas en diferente representación

Buena suerte. Para verificar la cancelación para grupos particulares como$E_8\times E_8$y$SO(32)$, de hecho tendrá que pasar por tareas teóricas grupales similares. Fórmula de trazas similar para las trazas de$E_8$Las transformaciones son especialmente deliciosas, incluido el factor de$1/30$.

El caso ortogonal es más fácil incluso si uno no es un amigo íntimo de todas las "cosas de Chern", y yo no lo soy.

En tu fórmula,$\exp(iF)$puede entenderse como un elemento general de la$SO(n)$grupo mientras$F$es un elemento del álgebra de Lie. Este último es antisimétrico en la representación fundamental, ¿de acuerdo? Por lo tanto, puede estar "diagonalizado", y los valores propios se emparejan en pares$\pm\lambda_i$.

Similarmente,$\exp(iF)$puede estar en diagonal y los valores propios vienen en pares$\exp(\pm i\lambda_j)$, ¿DE ACUERDO? Alternativamente, el$2\times 2$bloque con estos valores propios se puede escribir como la matriz$((\cos\lambda_j,\sin\lambda_j),(-\sin\lambda_j,\cos\lambda_j))$.

Ahora, es importante darse cuenta de cómo se ven los elementos de la matriz en la representación adjunta. La representación adjunta de$SO(n)$es$n(n-1)/2$dimensional, ¿de acuerdo? déjame suponer que$n$es par - incrustar$SO(2k+1)$a$SO(2k+2)$si necesario. Es la parte antisimétrica del producto tensorial.$n\times n$. Entonces, si los elementos de la matriz de una transformación$\exp(iF)$en la representación fundamental son$\exp(i\lambda_j)$, los elementos de la matriz en la representación adjunta (tensor antisimétrico) son combinaciones de productos de dos cosas, es decir, combinaciones de$\exp(i\lambda_j+i\lambda_k)$, ¿DE ACUERDO?

Es fácil ver que si diagonalizamos$\exp(iF)$en la representación fundamental, con valores propios$\exp(\pm \lambda_j)$, la huella sobre la representación fundamental es sólo la suma de estas fases que es

$${\rm tr} (\exp(iF)) = \sum_{\pm} \sum_j \exp(\pm i\lambda_j) = 2\sum_j \cos\lambda_j$$ En la base naturalmente asociada de la representación adjunta, la transformación $\exp(iF)$también está diagonalizado. Porque el $n(n-1)/2$Los vectores base son solo pares de vectores base de la representación fundamental, las entradas diagonales de $\exp(iF)$son solo productos de dos entradas diagonales en la representación fundamental, por lo que son $$\exp(\pm i\lambda_j\pm i\lambda_k), \quad j \lt k$$ donde los dos $\pm$Los signos son independientes. La traza es la suma de todos estos números que es $${\rm Tr}(\exp(iF)) = \sum_{j\lt k} \left[ 2\cos(\lambda_j+\lambda_k)+2\cos(\lambda_j-\lambda_k) \right]$$ Este es el lado izquierdo de su identidad. El primer término de la derecha es $$\frac 12 2^2\left(\sum_j \cos\lambda_j \right)^2$$ donde acabo de elevar al cuadrado un resultado anterior mientras que el segundo término es $$- \frac 12 \sum_j 2\cos 2\lambda_j$$ donde acabo de duplicar el argumento del coseno. Ahora, ambos lados se pueden simplificar a $$4\sum_{j\lt k} \cos \lambda_j \cos \lambda_k$$ En el caso del lado izquierdo, es porque el $\sin\cdot\sin$términos se cancelan cuando se suman los dos términos con signos iguales u opuestos. Tu usas $\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a \sin b$– tal vez todo sería más simple usando la notación exponencial compleja, de todos modos. En el caso del lado derecho, el $j\neq k$términos del primer término son correctos, incluido el factor correcto de cuatro, mientras que el $j=k$los términos deben restarse del primer término por el segundo término. Bueno, queda un término constante: $$2\cos^2 \lambda_j - \cos 2\lambda_j = 1$$ Pero los términos constantes coinciden porque se verifican cuando $\lambda_j=0$para todos $j$. El rastro del operador de identidad ( $F=0$) en el lado izquierdo es $n(n-1)/2$, simplemente la dimensión del representante, mientras que el primer término en el RHS produce $n^2/2$y el segundo te da $-n/2$entonces las cosas están bien.

Estoy seguro de que completa los detalles y pregunta si algo realmente necesita ayuda adicional.

Por supuesto que existen demostraciones que evitan la diagonalización y demostraciones que están conceptualmente ligadas a partes más esotéricas de las matemáticas. Pero un cálculo explícito usando los elementos de matriz explícitos de las transformaciones en relación con ambas representaciones podría ser útil para realizar al menos una vez en la vida.

Por cierto, es posible que haya notado que la base en la que se diagonalizaron las transformaciones era "compleja": las coordenadas de los vectores propios en relación con la "base real habitual" de la$n$-El espacio dimensional era complejo. Pero eso no es un problema. Acabo de resolver un problema más general para las huellas en todo$SO(n,C)$grupo, y el resultado para$SO(n,R)$puede considerarse un caso especial de la misma. En general, en física y matemáticas "suficientemente profundas", uno nunca debe protestar contra los números complejos (coordenadas complejas de vectores propios y quizás valores propios complejos de matrices unitarias, etc.) mientras se diagonalizan las cosas.

$\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$Para$\mathrm{SO}(N)$, la representación adjunta puede verse como la parte antisimétrica del producto tensorial de la representación fundamental consigo misma.

En general, tenemos la siguiente propiedad para tal representación antisimétrica:

Dada una representación$(V,\rho)$, la representación$V\otimes V$se descompone como$S^2 V \oplus \Lambda^2 V$dónde$S^2 V$son los tensores simétricos y$\Lambda^2 V$son los tensores antisimétricos, y tenemos

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{1}{2}(\chi_V(g)^2 - \chi_V(g^2))$$ dónde $\chi(g)$es la huella de $\rho(g)$en la representación correspondiente.

De esto se sigue directamente que

$$\chi_{\mathfrak{so}(N)}(g) = \frac{1}{2}(\chi_\text{fund}(g)^2 - \chi_\text{fund}(g^2))$$ lo que da la relación deseada para $g = \mathrm{e}^{\mathrm{i}F}$. Entonces, probemos la afirmación general sobre las huellas:

Dejar$v_1,\dots,v_n$ser una base de$V$. Entonces,$a_{ij} := v_i \otimes v_j - v_j \otimes v_i$,$j > i$son una base de los tensores antisimétricos$\Lambda^2 V$. El elemento matricial de la representación.$\sigma$de$g$en$\Lambda^2 V$en esta base están dadas por:

$$\sigma(g)_{kl,ij} = \rho(g)_{ki}\rho(g)_{lj} - \rho(g)_{kj}\rho(g)_{li}$$

desde$\sigma(g)a_{ij} = (\rho(g)v_i) \otimes (\rho(g)v_j) - (\rho(g)v_j) \otimes (\rho(g)v_i)$por definición.

De este modo,

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \tr(\sigma(g)) = \sum_{i < j} \sigma(g)_{ij,ij} = \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \sigma(g)_{ij,ij}$$

e insertando los elementos de la matriz da

$$\chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{1}{2}\sum_i\sum_j ( \rho(g)_{ii}\rho(g)_{jj} - \rho(g)_{ij}\rho(g)_{ji}) = \frac{1}{2}(\chi_V(g)^2 - \chi_V(g^2))$$

que es lo que queríamos mostrar.